Система образующих конечной абелевой группы

[moonruleni9ne]

На данном изображении описывается вычисление числа способов выбрать $(a, b), (c, d)$, которые будут порождать группу $G \cong \mathbb{Z}_{pq}$, где $p, q $ - нечётные различные простые числа и $p < q$. Понятно, что группа циклическая, значит, на самом деле, мощность минимального порождающего множества равна 1, но в данной статье рассматриваются именно пары, которые могут породить группу. Возник вопрос в 2-х местах данного доказательства:
1) Каким образом получается первое значение $(p-1)^2q$ для $(a,b)$?
2) Почему написано, что при выбранной паре $(a, b)$ число способов для $(c, d)$ равняется $(q-1)^2p$, но в последних строках эти способы складываются, а не перемножаются?

[B@R5uk]

Множество множеств образующих (в том числе пары образующих) группы распадается на классы эквивалентности относительно автоморфизмов этой группы. Для циклической группы $\mathbb{Z}_{pq}$ число классов эквивалентности одной образующей равно 1, число элементов в классе будет равно порядку группы автоморфизмов и равно $\varphi(pq)=(p-1)(q-1)$ (здесь фи — это функция Эйлера — число взаимно простых с аргументом чисел, меньших аргумента). Для пар образующих размер классов эквивалентности тот же самый, то есть результат должен делиться на величину выше. Величина в статье в скобках после одной второй после упрощения равна

$$(pq-1)^2-(p-1)(q-1)$$

и не делится на порядок группы автоморфизмов. Либо я что-то не понял, либо в статье криво посчитали.

-- 14.08.2024, 09:03 --

Рассмотрим на примере. Для группы

$$\left(\mathbb{Z}_{15}\right)^+$$

числа 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13 и 14 взаимно просты с 15 и каждое может быть взято как одна образующая группы. Их количество:

$$\left|\mathrm{Aut}\left(\mathbb{Z}_{15}\right)\right|=\varphi(15)=\varphi(3)\varphi(5)=2\cdot4=8$$

Число 0 — нейтральный элемент группы. Числа 3, 6, 9 и 12 имеют с порядком НОД, равный 3, и отдельно как образующие выступать не могут. То же самое с числами 5 и 10, их НОД с порядком равен 5. За то если взять их в паре, по одному числу из каждой группы, то получается порождающее множество всей группы (замыкание объедения подгрупп $\mathbb{Z}_3$ и $\mathbb{Z}_5$ даёт всю группу $\mathbb{Z}_{15}$). Этих пар ровно 8 штук (что равно $(p-1)(q-1)$, один класс).

Возможно, в статье считались не только наборы образующих, из которых нельзя выкинуть одну образующую.

[nnosipov]

B@R5uk в сообщении #1649917 писал(а):

Величина в статье в скобках после одной второй после упрощения равна

$$(pq-1)^2-(p-1)(q-1)$$

У меня получилось

$$(p-1)^2q+(q-1)^2p+(pq-2)(pq-p-q+1)=-5pq+3q+3p+p^2q^2-2,$$

что не равно $(pq-1)^2-(p-1)(q-1)$. А количество упорядоченных пар образующих в $\mathbb{Z}_{pq}$ у меня такое: $(p^2-1)(q^2-1)$. Как следствие, количество неупорядоченных пар образующих равно

$$\frac{(p^2-1)(q^2-1)-(p-1)(q-1)}{2}.$$

В общем, что считается в статье --- загадка.

-- Ср авг 14, 2024 13:45:25 --

B@R5uk
а что Вы называете образующей? То, что порождает группу (образующая=порождающая)? Или что-то другое? Выше я считал пары порождающих.

[B@R5uk]

nnosipov, спасибо что поправили. Что-то я криво квадраты разностей раскрыл. После упрощения получается так (проверка):

$$(pq + p + q - 4)(p - 1)(q - 1) + (p - 1)^2 + (q - 1)^2$$

Всё равно не делится на $(p - 1)(q - 1)$.

[dgwuqtj]

B@R5uk в сообщении #1649917 писал(а):

Возможно, в статье считались не только наборы образующих, из которых нельзя выкинуть одну образующую.

Конечно, там считали все образующие. Мне вычисление из статьи тоже что-то непонятно. По идее, должно быть $2 p q (p - 1) (q - 1) - (p - 1)^2 (q - 1)^2 + 2 (p - 1) (q - 1) = (p + 1) (q + 1) (p - 1) (q - 1)$.

[vpb]

Авторы этого текста говорят об обратной матрице применительно к матрице, у которой одне элементы из $Z_p$ , а другие, внезапно, из $Z_q$. Вот так вот лихо. Да и вообще чушь какая-то написана. К тому же там и в английском некоторое количество ошибок. В общем, я думаю, что место этого текста в помойке. (Интересно, из какой пещеры страны аффтары ?).

[B@R5uk]

Они ещё скобки не правильно раскрыли. В заголовке

$$p^2q^2-p^2-q^2-3pq+3q+3p-2$$

а должно быть

$$p^2q^2-5pq+3q+3p-2$$