Диаграмма Эйлера-Венна

[Mihr]

Elijah96, теперь для сравнения посмотрите на то, что я Вам предлагал сделать. Вместо того, чтобы снова и снова раскрашивать круги.

Mihr в сообщении #1649150 писал(а):

Попробуйте построить теперь указанную симметрическую разность так: $(A \triangle B) \triangle C = (AB' \cup A'B)C' \cup (AB' \cup A'B)'C$ и посмотрите, что получится.

Должно было получиться примерно следующее. В первом "слагаемом" вносим в скобки $C'$, во втором - используем сначала один из законов де Моргана:

$(A \triangle B) \triangle C = (AB' \cup A'B)C' \cup (AB' \cup A'B)'C = AB'C' \cup A'BC' \cup (AB')'(A'B)'C$

Сразу же следом используем другой закон де Моргана. Получаем:

$AB'C' \cup A'BC' \cup (A' \cup (B')')((A')' \cup B')C$

Используем закон инволюции (закон снятия двойного отрицания). Получаем:

$AB'C' \cup A'BC' \cup (A' \cup B)(A \cup B')C$

Раскрываем две пары скобок в последнем "произведении":

$AB'C' \cup A'BC' \cup (A'A \cup A'B' \cup AB \cup BB')C$

Воспользуемся тем, что $A'A = BB' = \varnothing$. То есть, это "нулевые слагаемые", и они могут быть опущены. Тогда получим:

$AB'C' \cup A'BC' \cup (A'B' \cup AB)C$

Осталось раскрыть последнюю пару скобок:

$AB'C' \cup A'BC' \cup A'B'C \cup ABC$

Собственно, это всё. Конечно, это решение не в одно и не в два действия, но всё же это - не восемь страниц "обсуждения" с бесконечным топтанием на месте. Если бы Вы попробовали делать то, что Вам говорят, вместо того, чтобы без конца рисовать картинки, Вы бы не убили целый день на эту, в общем-то, довольно простую задачу. И вынесли бы для себя существенно больше пользы - именно из подобного решения. А не из рисования.

[BorisK]

dgwuqtj в сообщении #1649325 писал(а):

Если вы спрашиваете, есть ли название у конкретно такой операции с множествами, то вряд ли. Напоминаю, что по вашей картинке операция не восстанавливается, её приходится дофантазировать в уме. Потому что диаграмма неполная.

Можно ли по картинке, на которой неполная диаграмм Венна, восстановить ее логическую формулу? Ну, хотя бы в виде набора конституент типа
$AB'C'$.
Если интересно, могу показать, как это делается, на примере приводимого здесь рисунка с диаграммой Эйлера-Венна из 5-ти кругов. Эта диаграмма выражается с помощью 22 конституент, а полная содержала бы 32. После этого и с вероятностью можно легко разобраться. И многократной симметрической разностью тоже.

-- 13.08.2024, 08:11 --



-- 13.08.2024, 08:40 --

Чтобы долго не искать, вот ссылка на рисунок
https://postimg.cc/JtdvRgXF[/quote]

[BorisK]

Показываю как произвольную (неполную) диаграмму Эйлера – Венна можно представить в виде набора конституент. Берем рисунок и произвольно нумеруем на нем все области, не имеющие внутренних границ, включая внешнюю область (22)
https://postimg.cc/56L46XSf
Формируем множества
$A=\{1,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\}$;
$B=\{2,7,8,9,10,11,12,13,16,17,18\}$;
$C=\{3,9,10,11,1314,16,17,18,19,20\}$;
$D=\{4,11,12,13,14,15,16,18,19,20,21\}$;
$E=\{5,6,7,10,12,13,14,15,16,20,21\}$.
Формируем таблицу, в ячейках которой цифрой 1 помечены содержащиеся в данном множестве номера соответствующих областей. Таблицу в TeX мне лень было рисовать, поэтому предлагаю рисунок. Пустые клетки соответствуют цифре 0.
https://postimg.cc/GBhz4sYN
В заголовке таблицы указаны номера областей. Тогда каждой области будет соответствовать бинарное 5-значное число с порядком разрядов $ABCDE$. Например, области 5 соответствует число 00001, а области 11 число 11110. Внизу таблицы зеленым цветом помечены десятичные значения бинарных чисел. С их помощью можно установить множество бинарных чисел, которые соответствуют отсутствующим областям на данной диаграмме. В десятичном выражении это множество
$R=\{5,9,10,11,13,18,20,21,22,26\}$.
Рассмотрим, как можно выразить данную диаграмму в виде набора конституент. Каждому бинарному числу можно сопоставить определенную конституенту. Например, числу 10011 соответствует конституента $AB'C'DE$, а числу 11100 – конституента $ABCD'E'$.
Теперь рассмотрим исходную диаграмму ( https://postimg.cc/JtdvRgXF ).
Закрашенным областям на рисунке 1 в ней соответствуют области с номерами 1, 2, 3, 4, 5, а всю закрашенную область можно выразить как объединение соответствующих конституент. Это примерно соответствует формуле, которую вывел Mihr для трех множеств.

Mihr в сообщении #1649395 писал(а):

Осталось раскрыть последнюю пару скобок:
$AB'C' \cup A'BC' \cup A'B'C \cup ABC$

Правда, последняя конституента $ ABC$ здесь лишняя.
Для рисунка 1 формула будет такой:
$AB'C'D'E' \cup A'BC'D'E' \cup A'B'CD'E' \cup A'B'C'DE' \cup A'B'C'D'E$
Что касается закрашенной области на рисунке 2 исходной диаграммы, то ее нельзя выразить как дополнение предыдущей формулы, так как заданная диаграмма Эйлера – Венна неполная. Но можно выразить как объединение конституент соответствующих областей, т.е. областей с номерами 6 – 21. Формула получится громоздкой, но можно попробовать методы минимизации формул такого рода.
Что касается вероятностного анализа данного примера, то кое-что по этому поводу можно найти в недавно открытой теме «Обратная задача теории вероятностей»:
topic158384.html

[Mihr]

BorisK в сообщении #1649937 писал(а):

Правда, последняя конституента $ ABC$ здесь лишняя.

BorisK, честно говоря, неохота вникать в Вашу "арифметику". Скажите коротко: Вы считаете, что написанное мной выражение для симметрической разности трёх множеств ошибочно? Или как? Что значит "лишняя"?

[BorisK]

Mihr в сообщении #1649938 писал(а):

BorisK, честно говоря, неохота вникать в Вашу "арифметику". Скажите коротко: Вы считаете, что написанное мной выражение для симметрической разности трёх множеств ошибочно? Или как? Что значит "лишняя"?

Посмотрите на рисунок 2 в диаграмме https://postimg.cc/nC8rcSZT . По Вашей формуле получается, что к закрашенным областям добавляется центральная область (конституетта $ABC$). А это не соответствует формуле $(A \triangle B) \triangle C$, так как эта область включена в круг $B$ и в круг $C$ и тем самым не должна присутствовать в результате. Так что здесь у Вас неточность. А что касается моей «арифметики», то, как мне представляется, без нее с неполной диаграммой из 5-ти кругов весьма непросто разобраться, если мы даже на трех кругах иногда запутываемся.

[Mihr]

BorisK в сообщении #1649975 писал(а):

А что касается моей «арифметики», то, как мне представляется, без нее с неполной диаграммой из 5-ти кругов весьма непросто разобраться

Ага, конечно. "Без пол-литры не разобраться".
BorisK, вообще-то, уже и до ТС, наконец, дошло, что к чему. После этого появляетесь Вы со своим доморощенным методом, и заявляете: "Не так". Ну-ну.
Имейте в виду: сейчас Вы не в дискуссионных темах, а в ПРР. Здесь неправильные ответы на вопросы ТС, как правило, наказываются.

(Оффтоп)

А уж для дфмн барахтаться на таком мелководье... Не знаю, что и сказать.

[BorisK]

Mihr в сообщении #1649980 писал(а):

Ага, конечно. "Без пол-литры не разобраться".
BorisK, вообще-то, уже и до ТС, наконец, дошло, что к чему. После этого появляетесь Вы со своим доморощенным методом, и заявляете: "Не так". Ну-ну.
Имейте в виду: сейчас Вы не в дискуссионных темах, а в ПРР. Здесь неправильные ответы на вопросы ТС, как правило, наказываются.

Что такое ТС и как наказываются неправильные ответы?
И все же я утверждаю, что формула $(A \triangle B) \triangle C$ соответствует закрашенным областям на рисунке 2 из https://postimg.cc/nC8rcSZT . А в Вашей формуле содержится член объединения ($ABC$), который соответствует одной из не закрашенных областей. В чем моя ошибка?

[nnosipov]

BorisK в сообщении #1650087 писал(а):

В чем моя ошибка?

Добавьте к рисунку 1 еще кружок $C$ и примените формулу симметрической разности для двух множеств $A \Delta B$ (уже нарисовано) и $C$. Так Вы увидите, что центральная часть (тройное пересечение) должна быть --- это ровно то, что лежит в $C$, но не лежит в $A \Delta B$.

[Mihr]

BorisK в сообщении #1650087 писал(а):

Что такое ТС

Топикстартер - человек, начавший тему.

BorisK в сообщении #1650087 писал(а):

как наказываются неправильные ответы?

Обычно начинается с модераторского замечания или предупреждения. В случае повторений ситуации следует цепочка банов нарастающей длительности (вплоть до бессрочного). Но, конечно, далеко не все, кто делает ошибки в ПРР, нарабатывают на бессрочный бан.

BorisK в сообщении #1650087 писал(а):

В чем моя ошибка?

Уже ответили.

[BorisK]

Mihr в сообщении #1650093 писал(а):

BorisK в сообщении #1650087 писал(а):

Что такое ТС

Топикстартер - человек, начавший тему.

BorisK в сообщении #1650087 писал(а):

как наказываются неправильные ответы?

Обычно начинается с модераторского замечания или предупреждения. В случае повторений ситуации следует цепочка банов нарастающей длительности (вплоть до бессрочного). Но, конечно, далеко не все, кто делает ошибки в ПРР, нарабатывают на бессрочный бан.

BorisK в сообщении #1650087 писал(а):

В чем моя ошибка?

Уже ответили.

Свою ошибку признаю – не разобрался внимательно с формулой $(A \triangle B) \triangle C$.

[мат-ламер]

nnosipov в сообщении #1650092 писал(а):

Добавьте к рисунку 1 еще кружок $C$ и примените формулу симметрической разности для двух множеств $A \Delta B$ (уже нарисовано) и $C$. Так Вы увидите, что центральная часть (тройное пересечение) должна быть --- это ровно то, что лежит в $C$, но не лежит в $A \Delta B$.

Mihr в сообщении #1649150 писал(а):

Попробуйте построить теперь указанную симметрическую разность так: $(A \triangle B) \triangle C = (AB' \cup A'B)C' \cup (AB' \cup A'B)'C$ и посмотрите, что получится.

То же самое можно обосновать проще. Как уже писалось в теме, симметрическая разность нескольких множеств - это множество тех элементов, которые принадлежат ровно нечётному количеству множеств. Для трёх множеств - одному, либо всем трём множеств, но не двум. Поэтому эта операция ассоциативная, скобки для неё не нужны.

Что касается диаграммы с пятью множествами, то можно посмотреть формулу включений-исключений .

[Mihr]

мат-ламер в сообщении #1650141 писал(а):

Как уже писалось в теме, симметрическая разность нескольких множеств - это множество тех элементов, которые принадлежат ровно нечётному количеству множеств.

Вообще-то, это утверждение - не определение симметрической разности. Значит, его нужно доказывать отдельно.

[мат-ламер]

Mihr в сообщении #1650145 писал(а):

Вообще-то, это утверждение - не определение симметрической разности. Значит, его нужно доказывать отдельно.

Понятное дело! Оно есть во многих учебниках. Я его помню по Колмогорову-Фомину. Где-то в первой главе, когда рассказывалось об алгебрах множеств.

[Mihr]

Ну, если считать это утверждение уже доказанным, тогда вся данная тема - практически ни о чём. Можно было без всякий рассуждений сразу написать нужную формулу

[Ende]

BorisK
Замечание за вводящие в заблуждение ответы в разделе "Помогите решить/разобраться". Это раздел, в котором те, кто знает правильный ответ, помогают тому, кто не знает (автору темы, топикстартеру, ТС). Если не уверены в ответе, то в этом разделе лучше не отвечать.