Автоморфизм или изоморфизм

[Vasily2024]

Является ли изоморфизм групп $(A, +)$ и $(A, o)$ автоморфизмом?

[dgwuqtj]

Не является.

[Vasily2024]

Спасибо!
Отображение $h(x) = x +k$, где $k$ - некоторый элемент группы, может быть автоморфизмом группы?

[dgwuqtj]

Это какая-то конкретная группа? В общем случае у вас нет операции прибавления чисел к элементам группы.

[Vasily2024]

Извините! $k$ - это некоторый элемент группы

[dgwuqtj]

Вот вам упражнение: докажите, что такая операция является автоморфизмом тогда и только тогда, когда $k = 0$. Причём группа не обязательно абелева.

[Vasily2024]

dgwuqtj в сообщении #1649148 писал(а):

Вот вам упражнение: докажите, что такая операция является автоморфизмом тогда и только тогда, когда $k = 0$. Причём группа не обязательно абелева.

Доказал!

-- 10.08.2024, 13:32 --

Но вот в чем проблема. Очень нужна однородная группа. Читаю:

"Давайте назовем группу $ G $ однородной, если для каждых двух различных неидентичных элементов $a$ и $b$ существует автоморфизм $h$ из $G$ такой, что $h(a) = b$. Изучая это определение, мы можем видеть, что аддитивная группа, лежащая в основе любого поля, однородна, исследуя автоморфизм $h(x) =b - a +x$.

Может термин автоморфизм перепутали с гомоморфизмом?

[dgwuqtj]

Нет, автор ошибся, там другой автоморфизм должен быть: $h(x) = \frac{b x} a$

А упражнение работает и для гомоморфизмов.

[Vasily2024]

Все ясно!
Спасибо.

[Vasily2024]

Уважаемый dgwuqtj !

Предлагаю такое определение однородного пространства:
Носитель группы $(G, +)$ является однородным пространством, если
для любого элемента $g$ принадлежащего $G$
существует изоморфизм $h:$ из $G$ в $Gg$,
где $Gg = (g' + g : g'$ принадлежит $ G )$ – сдвинутая группа по элементу $g$.

[dgwuqtj]

Термин "однородное пространство" уже занят под другое понятие. А изоморфизм в какой категории? У вас $G g$ - это просто множество, без структуры.

[Vasily2024]

Спасибо за замечания. Внес исправления:

Пусть $(G, +)$ - группа,
$Gg = (g' + g : g' in G )$ – сдвинутая группа по элементу $g$, элементы группы $Gg$ обозначаются как $(x + g)$,
операция $o$ в группе $Gg$ определена по формуле:

$(x + g) o (y + g) = x + y + g$

Определение. Носитель группы $(G, +)$ является однородным множеством, если
для любого элемента $g$ принадлежащего $G$ существует изоморфизм $h:$ из $G$ в $Gg$.

[dgwuqtj]

Очевидно, что $h(x) = x + g \colon G \to G g$ всегда будет изоморфизмом. То есть у любой группы носитель является однородным множеством в вашем смысле.

[Vasily2024]

dgwuqtj в сообщении #1649638 писал(а):

у любой группы носитель является однородным множеством

Спасибо за информацию. Тогда еще проще:

Пусть $(G, +)$ - группа,
$Gg = (g' + g : g' in G )$ – сдвинутая группа по элементу $g$, элементы группы $Gg$ обозначаются как $(x + g)$,
операция $o$ в группе $Gg$ определена по формуле:

$(x + g) o (y + g) = x + y + g$

Носитель любой группы $(G, +)$ является однородным множеством в следующем смысле:
для любого элемента $g$ принадлежащего $G$ существует изоморфизм $h:$ из $G$ в $Gg$.