2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение10.08.2024, 12:24 


28/03/24
76
Является ли изоморфизм групп $(A, +)$ и $(A, o)$ автоморфизмом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение10.08.2024, 12:28 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Не является.

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение10.08.2024, 13:03 


28/03/24
76
Спасибо!
Отображение $h(x) = x +k$, где $k$ - некоторый элемент группы, может быть автоморфизмом группы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение10.08.2024, 13:04 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Это какая-то конкретная группа? В общем случае у вас нет операции прибавления чисел к элементам группы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение10.08.2024, 13:06 


28/03/24
76
Извините! $k$ - это некоторый элемент группы

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение10.08.2024, 13:10 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Вот вам упражнение: докажите, что такая операция является автоморфизмом тогда и только тогда, когда $k = 0$. Причём группа не обязательно абелева.

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение10.08.2024, 13:16 


28/03/24
76
dgwuqtj в сообщении #1649148 писал(а):
Вот вам упражнение: докажите, что такая операция является автоморфизмом тогда и только тогда, когда $k = 0$. Причём группа не обязательно абелева.
Доказал!

-- 10.08.2024, 13:32 --

Но вот в чем проблема. Очень нужна однородная группа. Читаю:

"Давайте назовем группу $ G $ однородной, если для каждых двух различных неидентичных элементов $a$ и $b$ существует автоморфизм $h$ из $G$ такой, что $h(a) = b$. Изучая это определение, мы можем видеть, что аддитивная группа, лежащая в основе любого поля, однородна, исследуя автоморфизм $h(x) =b - a +x$.

Может термин автоморфизм перепутали с гомоморфизмом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение10.08.2024, 14:06 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Нет, автор ошибся, там другой автоморфизм должен быть: $h(x) = \frac{b x} a$

А упражнение работает и для гомоморфизмов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение10.08.2024, 14:51 


28/03/24
76
Все ясно!
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение12.08.2024, 14:02 


28/03/24
76
Уважаемый dgwuqtj !

Предлагаю такое определение однородного пространства:
Носитель группы $(G, +)$ является однородным пространством, если
для любого элемента $g$ принадлежащего $G$
существует изоморфизм $h:$ из $G$ в $Gg$,
где $Gg = (g' + g : g'$ принадлежит $ G )$ – сдвинутая группа по элементу $g$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение12.08.2024, 16:18 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Термин "однородное пространство" уже занят под другое понятие. А изоморфизм в какой категории? У вас $G g$ - это просто множество, без структуры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение12.08.2024, 17:22 


28/03/24
76
Спасибо за замечания. Внес исправления:

Пусть $(G, +)$ - группа,
$Gg = (g' + g : g' in G )$ – сдвинутая группа по элементу $g$, элементы группы $Gg$ обозначаются как $(x + g)$,
операция $o$ в группе $Gg$ определена по формуле:

$(x + g) o (y + g) = x + y + g$

Определение. Носитель группы $(G, +)$ является однородным множеством, если
для любого элемента $g$ принадлежащего $G$ существует изоморфизм $h:$ из $G$ в $Gg$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение12.08.2024, 17:36 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Очевидно, что $h(x) = x + g \colon G \to G g$ всегда будет изоморфизмом. То есть у любой группы носитель является однородным множеством в вашем смысле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение12.08.2024, 17:58 


28/03/24
76
dgwuqtj в сообщении #1649638 писал(а):
у любой группы носитель является однородным множеством


Спасибо за информацию. Тогда еще проще:

Пусть $(G, +)$ - группа,
$Gg = (g' + g : g' in G )$ – сдвинутая группа по элементу $g$, элементы группы $Gg$ обозначаются как $(x + g)$,
операция $o$ в группе $Gg$ определена по формуле:

$(x + g) o (y + g) = x + y + g$

Носитель любой группы $(G, +)$ является однородным множеством в следующем смысле:
для любого элемента $g$ принадлежащего $G$ существует изоморфизм $h:$ из $G$ в $Gg$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group