2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение10.08.2024, 12:24 


28/03/24
76
Является ли изоморфизм групп $(A, +)$ и $(A, o)$ автоморфизмом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение10.08.2024, 12:28 
Заслуженный участник


07/08/23
1098
Не является.

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение10.08.2024, 13:03 


28/03/24
76
Спасибо!
Отображение $h(x) = x +k$, где $k$ - некоторый элемент группы, может быть автоморфизмом группы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение10.08.2024, 13:04 
Заслуженный участник


07/08/23
1098
Это какая-то конкретная группа? В общем случае у вас нет операции прибавления чисел к элементам группы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение10.08.2024, 13:06 


28/03/24
76
Извините! $k$ - это некоторый элемент группы

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение10.08.2024, 13:10 
Заслуженный участник


07/08/23
1098
Вот вам упражнение: докажите, что такая операция является автоморфизмом тогда и только тогда, когда $k = 0$. Причём группа не обязательно абелева.

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение10.08.2024, 13:16 


28/03/24
76
dgwuqtj в сообщении #1649148 писал(а):
Вот вам упражнение: докажите, что такая операция является автоморфизмом тогда и только тогда, когда $k = 0$. Причём группа не обязательно абелева.
Доказал!

-- 10.08.2024, 13:32 --

Но вот в чем проблема. Очень нужна однородная группа. Читаю:

"Давайте назовем группу $ G $ однородной, если для каждых двух различных неидентичных элементов $a$ и $b$ существует автоморфизм $h$ из $G$ такой, что $h(a) = b$. Изучая это определение, мы можем видеть, что аддитивная группа, лежащая в основе любого поля, однородна, исследуя автоморфизм $h(x) =b - a +x$.

Может термин автоморфизм перепутали с гомоморфизмом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение10.08.2024, 14:06 
Заслуженный участник


07/08/23
1098
Нет, автор ошибся, там другой автоморфизм должен быть: $h(x) = \frac{b x} a$

А упражнение работает и для гомоморфизмов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение10.08.2024, 14:51 


28/03/24
76
Все ясно!
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение12.08.2024, 14:02 


28/03/24
76
Уважаемый dgwuqtj !

Предлагаю такое определение однородного пространства:
Носитель группы $(G, +)$ является однородным пространством, если
для любого элемента $g$ принадлежащего $G$
существует изоморфизм $h:$ из $G$ в $Gg$,
где $Gg = (g' + g : g'$ принадлежит $ G )$ – сдвинутая группа по элементу $g$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение12.08.2024, 16:18 
Заслуженный участник


07/08/23
1098
Термин "однородное пространство" уже занят под другое понятие. А изоморфизм в какой категории? У вас $G g$ - это просто множество, без структуры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение12.08.2024, 17:22 


28/03/24
76
Спасибо за замечания. Внес исправления:

Пусть $(G, +)$ - группа,
$Gg = (g' + g : g' in G )$ – сдвинутая группа по элементу $g$, элементы группы $Gg$ обозначаются как $(x + g)$,
операция $o$ в группе $Gg$ определена по формуле:

$(x + g) o (y + g) = x + y + g$

Определение. Носитель группы $(G, +)$ является однородным множеством, если
для любого элемента $g$ принадлежащего $G$ существует изоморфизм $h:$ из $G$ в $Gg$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение12.08.2024, 17:36 
Заслуженный участник


07/08/23
1098
Очевидно, что $h(x) = x + g \colon G \to G g$ всегда будет изоморфизмом. То есть у любой группы носитель является однородным множеством в вашем смысле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Автоморфизм или изоморфизм
Сообщение12.08.2024, 17:58 


28/03/24
76
dgwuqtj в сообщении #1649638 писал(а):
у любой группы носитель является однородным множеством


Спасибо за информацию. Тогда еще проще:

Пусть $(G, +)$ - группа,
$Gg = (g' + g : g' in G )$ – сдвинутая группа по элементу $g$, элементы группы $Gg$ обозначаются как $(x + g)$,
операция $o$ в группе $Gg$ определена по формуле:

$(x + g) o (y + g) = x + y + g$

Носитель любой группы $(G, +)$ является однородным множеством в следующем смысле:
для любого элемента $g$ принадлежащего $G$ существует изоморфизм $h:$ из $G$ в $Gg$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group