Геодезические -- прямые

[drzewo]

Во! оказывается, то высказывание, которое мне казалось очевидным -- неверно.
Не могу сделать так что $\Gamma_{11}^1=0$.
а вот это $\Gamma^2_{11}=0$ -- можно.
Дальше понятно, спасибо

-- 01.07.2024, 16:56 --

Было бы интересно исследовать эту задачу аналитически

[Slav-27]

Slav-27 в сообщении #1556090 писал(а):

Да! я тоже делал через постоянство кривизны и ссылался на теорему Бельтрами. Есть ещё одно локальное доказательство постоянства кривизны, несколько более геометрическое, но тоже не сильно короткое (я когда-то напишу подробнее, наверно).

Давайте я напишу наконец "геометрическое" доказательство теоремы Бельтрами, которое придумал Владимир Матвеев; хотя я всё ещё надеюсь, что удастся обойтись без этой теоремы.

Теорема Бельтрами: если на связной гладкой поверхности $M$ есть 2 римановы метрики, у которых геодезические одинаковые с точностью до перепараметризации, и при этом кривизна одной из метрик постоянна, то кривизна другой метрики тоже постоянна.

План доказательства:

1. Замечаем, что поверхность $M$ имеет постоянную кривизну $\Longleftrightarrow$ любой касательный вектор можно локально продолжить до векторного поля Киллинга.
2. Хотим по 2 римановым метрикам $g$ и $\bar g$ на $M$ построить линейный автоморфизм $TM$, переводящий $\bar g$-поля Киллинга в $g$-поля Киллинга. Для этого используем такую характеризацию: векторное поле $Y$ на римановом многообразии киллингово $\Longleftrightarrow$ соответствующая 1-форма $Y^\flat\equiv\flat Y$ инвариантна относительно геодезического потока. (Знатоки заметят, что $Y^\flat$ -- это сохраняющийся заряд, соответствующий $Y$ по теореме Нётер.)
3. По $\bar\flat Y$ (опускание индекса при помощи $\bar g$) очевидным образом строится инвариант геодезического потока $\Phi$ метрики $g$ вида $|\cdot|_{\bar g}\,\flat(GY)$ для не зависящего от $Y$ линейного автоморфизма $G:TM\to TM$.
   Проблема в том, что функция $|\cdot|_{\bar g}$ не обязательно $\Phi$-инвариантна, и поэтому $GY$ не обязательно $g$-килингово. Но если удастся найти $\Phi$-инвариантную функцию $TM\to\mathbb R$ вида $\xi\mapsto|\xi|_{\bar g}r(\pi(\xi))$ для некоторой функции $r:M\to\mathbb R\setminus\{0\}$ ($\pi:TM\to M$ -- проекция), тогда $G(Y)/r$ будет $g$-киллингово, то есть $G/r$ -- искомый автоморфизм $TM$.
4. Вспоминаем, что геодезический поток гамильтонов. Замечаем, что любому сохраняющему траектории диффеоморфизму 4-мерных гамильтоновых систем соответствует некоторый инвариант.
5. Вычисляем этот инвариант для нашего случая и убеждаемся, что он имеет нужный вид; $r=\left(\dfrac{\mathrm{Vol}_g}{\mathrm{Vol}_{\bar g}}\right)^{2/3}$.

Теперь подробности. (Все многообразия и функции по умолчанию подразумеваются гладкими.)

1. Если $M$ -- связная поверхность постоянной кривизны, то (с точностью до умножения метрики на положительное число) она локально изометрична сфере $\{|x|=1\}\subset\mathbb R^3$, евклидовой плоскости или плоскости Лобачевского. Касательный вектор $\xi$, отложенный от точки $x$ на сфере, можно продолжить до генератора поворота воркуг оси, ортогональной $\xi$ и $x$, а на плоскости Евклида или Лобачевского -- до генератора параллельного переноса в направлении $\xi$. Обратно, если любой $\xi$ продолжается до киллингова поля $X$, то поток $\varphi^X$ задаёт, для любого достаточно малого $t>0$, изометрию $U\to V$, где $U$ -- окрестность $x$, $V$ -- окрестность $\varphi^X_t(x)$; так как близкие точки можно соединить геодезической, то кривизна $M$ постоянна.

2. Пусть $(M,g)$ -- риманово многообразие. Для $\xi\in T_xM$ обозначим $\xi_v$ и $\xi_h$ его вертикальное и горизонтальное поднятие соответственно (векторные поля на $TM$, определённые вдоль $T_xM\subset TM$). $\xi_v$ действует на функции $F:TM\to\mathbb R$ по формуле $(\xi_vF)(\eta)=\dfrac d{dt}\Big|_{t=0}F(\eta+t\xi)$; здесь $\eta\in T_xM$. А $\xi_h$ вычисляет ковариантную производную; в частности, для 1-формы $\alpha$ на $M$ верно $(\xi_h\alpha)(\eta)=(\nabla_\xi\alpha)(\eta)$, и это однозначно определяет $\xi_h$; здесь $\eta\in T_xM$, а $\alpha$ в левой части понимается как функция $TM\to\mathbb R$.

Генератор геодезического потока -- это векторное поле $u$ на $TM$, определяемое условием $u_\xi=(\xi_h)_\xi$; здесь индекс $\xi$ означает, что берётся значение векторного поля в точке $\xi$. Пусть $Y$ -- векторное поле на $M$, тогда $u_\xi(Y^\flat)=\nabla_\xi Y^\flat=g(\nabla_\xi Y,\xi)$. То есть осталось доказать, что $Y$ киллингово $\Longleftrightarrow$ $\nabla Y$ -- кососимметрический тензор.

Продолжим произвольный $\xi\in T_xM$ до локального векторного поля $X$ на $M$, ковариантно постоянного в $x$. Тогда в точке $x$
$g(\nabla_XY,X)=g(\nabla_XY-\nabla_YX,X)$ (т. к. $\nabla_YX=0$)
$=g([X,Y],X)$ (т. к. $\nabla$ без кручения)
$=-g(L_YX,X)$ (свойство коммутатора)
$=-\frac12[L_Y(g(X,X))-(L_Yg)(X,X)]$ (правило Лейбница для производной Ли)
$=\frac12(L_Yg)(\xi,\xi)$ (т. к. $X$ ковариантно постоянно).
Если $Y$ киллингово, то это $0$; и наоборот, поскольку $\xi$ произволен и $g$ симметрична.

3. Пусть на многообразии $M$ 2 римановы метрики $g$ и $\bar g$ и $Y$ -- $\bar g$-поле Киллинга, то есть $\bar\flat Y$ инвариантна относительно геодезического потока $\bar\Phi$ метрики $\bar g$. Совпадение непараметризованных геодезических $g$ и $\bar g$ означает, что диффеоморфизм $\varphi:TM\to TM$, $0\ne\xi\mapsto\dfrac{|\xi|_g}{|\xi|_{\bar g}}\xi$ переводит траектории $\Phi$ на траектории $\bar\Phi$. Поэтому функция $\xi\mapsto \dfrac{|\xi|_{\bar g}}{|\xi|_{g}}\bar\flat Y = \dfrac{|\xi|_{\bar g}}{|\xi|_{g}}\flat(GY)$ $\Phi$-инвариантна, где $G:=\sharp\bar\flat:TM\to TM$; это равносильно $\Phi$-инвариантности $|\xi|_{\bar g}\flat(GY)$, так как $|\xi|_g$ $\Phi$-инвариантна

4. Пусть $(N,\omega)$ -- симплектическое многообразие, $H:N\to\mathbb R$ -- гладкая функция, $h$ -- регулярное значение $H$. Обозначим $u:=(dH)^\sharp$ соответствующее гамильтоново векторное поле на $N$, $Q:=H^{-1}(h)\subset N$, $\sigma:=\omega\big|_Q$. Пусть $\bar N, \bar\omega, \bar H, \bar h, \bar u, \bar Q, \bar\sigma$ -- аналогичный набор данных ($\dim N=\dim\bar N$), $\varphi:Q\to \bar Q$ -- диффеоморфизм, переводящий траектории потока $u$ на траектории потока $\bar u$ (без учёта параметризации), $\tau:=\varphi^*\bar\sigma$.

Так как $\omega$ по определению невырожденна и кососимметрична, то $\ker\sigma\subset TN$ -- распределение ранга 1. Можно сказать точнее: так как $H$ постоянен на $Q$, то $\omega(u,v)=vH=0$ для всех $v\in TQ$, поэтому $\ker\sigma=\langle u\rangle$ (распределение, натянутое на наше гамильтоново векторное поле). Аналогично, $\ker\bar\sigma=\langle\bar u\rangle$, а поскольку $\varphi$ сохраняет траектории, то $\varphi_*\langle u\rangle=\langle \bar u\rangle$, поэтому $\ker\tau=\langle u\rangle=\ker\sigma$, так что $\sigma$ и $\tau$ индуцируют невырожденные кососимметричные билинейные формы $\tilde\sigma$ и $\tilde\tau$ на $TQ/\langle u\rangle$. Так как $\sigma$ и $\tau$ ещё и замкнуты как ограничения замкнутых форм, то они $u$-инвариантны по формуле Картана $L_u=d\iota_u+\iota_ud$.

Теперь пусть $\dim N=\dim\bar N=4$. Тогда $\operatorname{rk}TQ/\langle u\rangle=2$, поэтому $\tilde\sigma$ и $\tilde\tau$ отличаются на $u$-инвариантную функцию $I=\tilde\sigma/\tilde\tau:Q\to\mathbb R$. Если $h$ и $\bar h$ пробегают какие-то открытые интервалы, то таким образом получается $u$-инвариантная функция на открытом подмножестве $N$.

5. Теперь $N=\bar N=TM$, $\omega$ -- симплектическая форма на $TM$, связанная с метрикой $g$ (то есть $\omega=d\theta$, $\theta_\xi(v):=g(\xi,\pi_*v)$, где $\xi\in T_xM$, $v\in T_\xi TM$), $H(\xi)=\frac12g(\xi,\xi)$ -- гамильтониан геодезического потока $\Phi$ метрики $g$, $u$ -- генератор $\Phi$, $h\in(0,\infty)$, $\bar\omega, \bar H, \bar u$ -- аналогичные вещи, связанные с метрикой $\bar g$, $\varphi$ определён в п. 3. Вычислим инвариант $I$ для этого случая.

Зафиксируем $x\in M$, $\xi\in T_xM$ и выберем $\eta\in T_xM$ т. ч. $g(\xi,\eta)=0$. В точке $\xi\in TM$ $u=\xi_h$ (см. выше), а $\operatorname{grad}H=\xi_v$ (в стандартной римановой метрике $\tilde g$ на $TM$, относительно которой горизонтальное подпространство ортогонально вертикальному, а метрика на горизонтальном и на вертикальном индуцирована с $T_xM$); действительно, $\operatorname{grad}H$ вертикален, так как $H$ постоянен вдоль геодезических, а
$\tilde g_\xi(\operatorname{grad}H,\zeta_v)=(dH)_\xi(\zeta_v)=(\zeta_vH)(\xi)$
$=\dfrac12\dfrac d{dt}\Big|_{t=0}g(\xi+t\zeta,\xi+t\zeta)=g(\xi,\zeta)=\tilde g_\xi(\xi_v,\zeta_v)$
для любого $\zeta\in T_xM$. Поэтому в точке $\xi$ $I=\dfrac{\omega(\eta_v,\eta_h)}{(\varphi^*\bar\omega)(\eta_v,\eta_h)}$.

Продолжим $\eta$ до векторного поля около $x$; продолжение будем обозначать тоже $\eta$, обозначим также $v:=\eta_v$, $w:=\eta_h$. В точке $\xi$ $\omega(v,w)=(d\theta)(v,w)=v(\theta(w))-w(\theta(v))-\theta([v,w])=v(\theta(w))$
(так как по определению $\theta=0$ на вертикальных векторах; $[v,w]$ вертикально, поскольку $\pi_*[v,w]=[0,\eta]=0$)
$=\dfrac d{dt}\Big|_{t=0}g_x(\xi+t\eta,\eta)=|\eta|_g^2$.

Аналогично, в точке $\xi$ получаем $(\varphi^*\bar\omega)(v,w)=v((\varphi^*\bar\theta)(w))$. Пусть $\zeta\in T_xM$, тогда
$\left((\varphi^*\bar\theta)(w)\right)(\zeta)=\left(\bar\theta(\varphi_*w)\right)(\varphi(\zeta))$
$=\bar g(\varphi(\zeta),\pi_*\varphi_*w)=\bar g\left(\dfrac{|\zeta|_g}{|\zeta|_{\bar g}}\zeta,\eta\right)$. Вычислим производную этой функции переменной $\zeta$ вдоль векторного поля $v$ в точке $\zeta=\xi$:
$v_\xi\left(\dfrac{|\zeta|_g}{|\zeta|_{\bar g}}\bar g(\zeta,\eta)\right)$
$=\dfrac{|\xi|_g}{|\xi|_{\bar g}}|\eta|_{\bar g}^2 + \bar g(\xi,\eta)\dfrac{ |\xi|_{\bar g}\dfrac{2g(\xi,\eta)}{2|\xi|_g} - |\xi|_{g}\dfrac{2\bar g(\xi,\eta)}{2|\xi|_{\bar g}}} {|\xi|_{\bar g}^2}$ (использовали правило дифференцирования произведения и частного)
$=|\xi|_g|\xi|_{\bar g}^{-1}|\eta|_{\bar g}^2 \;\;-\;\; |\xi|_g|\xi|_{\bar g}^{-3}\bar g(\xi,\eta)^2$ (использовали $g(\xi,\eta)=0$)
$=|\xi|_g|\xi|_{\bar g}^{-3}\mathrm{Vol}_{\bar g}(\xi,\eta)^2$.

Так как $g(\xi,\eta)=0$, то $\mathrm{Vol}_g(\xi,\eta)=|\xi|_g|\eta|_g$, поэтому
$I=|\eta|_g^2|\xi|_g^{-1}|\xi|_{\bar g}^3\mathrm{Vol}_{\bar g}(\xi,\eta)^{-2} =\dfrac{|\xi|_{\bar g}^3\mathrm{Vol}_{g}(\xi,\eta)^2}{|\xi|_{g}^3\mathrm{Vol}_{\bar g}(\xi,\eta)^2}$.

Из инвариантности $I$ и $|\xi|_g$ следует, что функция $|\xi|_{\bar g}\left(\dfrac{\mathrm{Vol}_g}{\mathrm{Vol}_{\bar g}}\right)^{2/3}$ тоже инвариантна относительно геодезического потока $g$, что согласно п. 3 плана доказывает теорему Бельтрами.