2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Нерелятивистский и ультрарелятивиский предел
Сообщение07.08.2024, 15:59 


04/09/23
80
Формулы скорости и координаты при равноускоренном одномерном движении выглядят так
$v(t) = \frac{wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} }{\sqrt{1 + c^{-2}(wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2  }} $
$x(t) = \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + c^{-2}(wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2  } - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0 $
Нужно найти нерелятивистский и ультрарелятивистский пределы этих формул
Найдем нерелятивистский для скорости, это значит что $\frac{wt}{c} \to 0$, $\frac{v_0}{c} \to 0$
$v(t) = \frac{wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} }{\sqrt{1 + (\frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c} (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2  }} $ $ \approx (wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) (1 - \frac{1}{2}(\frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c} (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2)$ $\approx (wt + v_0 (1+\frac{v_0^2}{2c^2})) (1 - \frac{1}{2}(\frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c} (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2)$ $\approx wt + v_0$
Это соответствует классическому случаю
Теперь тоже и для координаты
$ x(t) = \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + c^{-2}(wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2  } - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0  $ $=  \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + (\frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2  } - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0 $ $\approx \frac{c^2}{w} (1 + \frac{1}{2}(\frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2   - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0$ $ \approx \frac{c^2}{w}( 1 + \frac{1}{2}(\frac{(wt)^2}{c^2} + 2 \frac{wt}{c}\frac{v_0}{c}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} + \frac{v_0^2}{c^2}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1})  - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})  + x_0 $ $ \approx \frac{wt^2}{2} + v_0 t + \frac{v_0^2}{2w} + x_0 $
От классического случая, этот отличается наличием слагаемого $\frac{v_0^2}{2w}$, от которого нельзя просто так избавиться, ибо он такого же порядка как и остальные. По идее, его вообще не должно возникать, а значит я где-то накосячил ?
А как найти предел для ультра-релятивистского случая я вообще не знаю.
Заранее спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерелятивистский и ультрарелятивиский предел
Сообщение07.08.2024, 16:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
Enceladoglu в сообщении #1648794 писал(а):
а значит я где-то накосячил ?

В исходной формуле?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерелятивистский и ультрарелятивиский предел
Сообщение07.08.2024, 16:21 


04/09/23
80
Geen
Она сопадает с ответом в задачнике
(Но там немного мутная история: при решении у меня получились именно те исходные формулы которые я написал, а в ответе были совсем другие. После чего я открыл более новое издание задачника, и обнаружил что уже в нем ответ совпадает с моим.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерелятивистский и ультрарелятивиский предел
Сообщение07.08.2024, 17:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12412
Enceladoglu в сообщении #1648794 писал(а):
От классического случая, этот отличается наличием слагаемого $\frac{v_0^2}{2w}$, от которого нельзя просто так избавиться, ибо он такого же порядка как и остальные. По идее, его вообще не должно возникать, а значит я где-то накосячил ?
Это всего лишь константа интегрирования. Физическим смыслом не обладает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерелятивистский и ультрарелятивиский предел
Сообщение07.08.2024, 18:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
Enceladoglu в сообщении #1648794 писал(а):
А как найти предел для ультра-релятивистского случая я вообще не знаю.

Считать, что $w t$ много больше всего остального.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерелятивистский и ультрарелятивиский предел
Сообщение07.08.2024, 18:24 


04/09/23
80
Утундрий
Я предполагал при выводе исходной формулы, что у меня $x(0) = x_0$ (и это верно, если подставить в исходную формулу для $x(t)$ значение $ t = 0$, то получим $x(0)  = x_0$) , а тут выскочила какая-то еще константа, из-за которой у меня $ x(0) = x_0 + \frac{v_0^2}{2w}$. Значит, где-то косяк..

-- 07.08.2024, 18:25 --

Geen
А что насчет $v_0$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерелятивистский и ультрарелятивиский предел
Сообщение07.08.2024, 18:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
Enceladoglu в сообщении #1648809 писал(а):
то получим $x(0)  = x_0$

Действительно получим?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерелятивистский и ультрарелятивиский предел
Сообщение07.08.2024, 18:35 


04/09/23
80
Geen
Давайте считать
$x(t) = \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + c^{-2}(wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2  } - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0 $
$x(0) = \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + c^{-2}(v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2  } - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0 $ $ =  \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + (\frac{v_0}{c} (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2  } -  (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0  =  $ $  =  \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + \frac{\frac{v_0^2}{c^2}}{1-\frac{v_0^2}{c^2}} } -  (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0  =  \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + \frac{\frac{v_0^2}{c^2}}{1-\frac{v_0^2}{c^2}} } -  \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_0^2}{c^2}}}) + x_0   $ $ = \frac{c^2}{w} (\sqrt{\frac{1-\frac{v_0^2}{c^2} + \frac{v_0^2}{c^2}}{1-\frac{v_0^2}{c^2}} } -  \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_0^2}{c^2}}}) + x_0  $ $ = \frac{c^2}{w} (\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_0^2}{c^2}} } -  \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_0^2}{c^2}}}) + x_0$ $ = 0 + x_0 = x_0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерелятивистский и ультрарелятивиский предел
Сообщение07.08.2024, 18:45 
Заслуженный участник


04/03/09
910
Enceladoglu в сообщении #1648794 писал(а):
Теперь тоже и для координаты

Наверное, точности приближения не хватает, надо до третьего члена ряда Тейлора считать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерелятивистский и ультрарелятивиский предел
Сообщение07.08.2024, 18:47 
Заслуженный участник


25/01/11
416
Урюпинск
Enceladoglu в сообщении #1648794 писал(а):
Теперь тоже и для координаты
$ x(t) = \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + c^{-2}(wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2  } - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0  $ $=  \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + (\frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2  } - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0 $ $\approx \frac{c^2}{w} (1 + \frac{1}{2}(\frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2   - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0$ $ \approx \frac{c^2}{w}( 1 + \frac{1}{2}(\frac{(wt)^2}{c^2} + 2 \frac{wt}{c}\frac{v_0}{c}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} + \frac{v_0^2}{c^2}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1}) \boxed{ - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}})  + x_0 $ $ \approx \frac{wt^2}{2} + v_0 t + \frac{v_0^2}{2w} + x_0 $

Вы потеряли слагаемое в рамке

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерелятивистский и ультрарелятивиский предел
Сообщение07.08.2024, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
Enceladoglu в сообщении #1648794 писал(а):
От классического случая, этот отличается наличием слагаемого $\frac{v_0^2}{2w}$,
Mathematica для вашего

$x(t) = \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + c^{-2}(wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2 } - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0 $

выдает предел $c\to\infty$
$x(t)=\frac{t^2 w}{2}+t v_0+x_0,$
так что ищите ошибку в вычислении предела.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерелятивистский и ультрарелятивиский предел
Сообщение07.08.2024, 20:10 


04/09/23
80
amon
Нашел!
12d3
Да, Вы правы
espe
Да, я недоразложил слагаемое в рамке, спасибо. Его нужно было разложить до $(1+\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{c^2}) $. Я же тупо предположил что это единица. На слагаемые 3-го и больше порядка можно забить
$\frac{c^2}{w}( 1 + \frac{1}{2}(\frac{(wt)^2}{c^2} + 2 \frac{wt}{c}\frac{v_0}{c}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} + \frac{v_0^2}{c^2}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1})  - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})  + x_0 = $ $\frac{c^2}{w}( 1 + \frac{1}{2}(\frac{(wt)^2}{c^2} + 2 \frac{wt}{c}\frac{v_0}{c}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} + \frac{v_0^2}{c^2}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1})  - (1+\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{c^2})) + x_0$ $ = \frac{c^2}{w}( 1 + \frac{1}{2}\frac{(wt)^2}{c^2} + \frac{wt}{c}\frac{v_0}{c}(1+\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{c^2}) + \frac{1}{2} \frac{v_0^2}{c^2}(1+\frac{v_0^2}{c^2})  - 1- \frac{1}{2}\frac{v_0^2}{c^2})  + x_0$ $ = $ $ \frac{wt^2}{2} + v_0 t + x_0 $
(Интересно, подход при котором мы устремляем $ c \to \infty$ не зависимо от $v_0$ и $w$, и подход, при котором мы говорим что именно $\frac{wt}{c} \to 0$, $\frac{v_0}{c} \to 0$ всегда дают один результат ?)
Так, теперь мне осталось найти ультрарелятивистский предел. Попробую для начала сделать это сам. Как я понял, $v_0$ устремлять к $c$ не стоит, ибо так я автоматически уберу из рассмотрения вариант, когда начальная скорость частицы была мала, а ультрарелятивистским случай стал только к моменту времени $t$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерелятивистский и ультрарелятивиский предел
Сообщение07.08.2024, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12412
Enceladoglu
На будущее рекомендую вводить для повторяющихся крокодилов компактные вре́менные обозначения. Формулы станут в разы читабельней и глупых ошибок станет меньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерелятивистский и ультрарелятивиский предел
Сообщение07.08.2024, 21:29 


04/09/23
80
Утундрий
Да, лучше так и делать в будущем.

-- 07.08.2024, 21:32 --

Так, будущее наступило уже сейчас :D
Потому что я так и не понял как находить ультра-релятивистский предел
У меня $wt$ должно быть намного больше чем что ?
Я изначально подумал что она должна стремиться к скорости света, но потом понял что это вообще говоря не настоящая скорость, настоящая скорость дана в исходной формуле. А величина $wt$ может быть наверное и больше скорости света ?

-- 07.08.2024, 21:58 --

Обозначим $q = wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} $
Тогда исходная формула для скорости принимает вид
$v = \frac{q}{\sqrt{1+q^2/c^2}}$
Пусть у нас ультрарелятивистский случай, $ v = c - \delta $,где $\delta$ мало
$c - \delta = \frac{q}{\sqrt{1+q^2/c^2}}$
$1 - \frac{\delta}{c} = \frac{q/c}{\sqrt{1+q^2/c^2}}$
Обозначение $q/c = p$
$1 - \frac{\delta}{c} = \frac{p}{\sqrt{1+p^2}}$
$\frac{p^2}{1+p^2} = (1 - \frac{\delta}{c})^2 \approx 1 - \frac{\delta}{2c}$
$p^2 = 1 + p^2 -  \frac{\delta}{2c} -   \frac{\delta}{2c} p^2 $
$ p^2 = \frac{1 - \frac{\delta}{2c}}{ \frac{\delta}{2c}}$
Понятно, что $p$ стремиться к бесконечности при малом $\delta$
Это значит что $ \frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c} (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} \to \infty$
Отсюда в частности видно, что
1) Если начальная скорость большая по сравнению со скоростью света, то $\frac{wt}{c}$ не обязана стремиться к бесконечности
2) Если начальная скорость мала по сравнению со скоростью света, то $\frac{wt}{c}$ стремиться к бесконечности, а значит $wt$ намного больше скорости света

 Профиль  
                  
 
 Re: Нерелятивистский и ультрарелятивиский предел
Сообщение07.08.2024, 22:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12412
Enceladoglu в сообщении #1648827 писал(а):
я так и не понял как находить ультра-релятивистский предел
У меня $wt$ должно быть намного больше чем что ?
Чем всё.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group