Нерелятивистский и ультрарелятивиский предел

[Enceladoglu]

Утундрий
Ага, и даже скорости света ?

[Утундрий]

Enceladoglu в сообщении #1648831 писал(а):

и даже скорости света ?

Интересная логика: если у какой-то величины размерность скорости, то она не может превышать скорость света. Продолжу по аналогии. Если у какой-то величины размерность времени, то она не может превышать возраста Вселенной. Если у какой-то величины размерность длины, то она не может быть меньше длины Планка. Если у какой-то величины нет размерности, то она просто не может.

Сосредоточьтесь лучше на математике и вычистите грязь из-под ногтей избавьтесь от детских ошибок.

[Enceladoglu]

Утундрий
Это был уточняющий вопрос) В принципе я понял почему так, в прошлом сообщении даже придумал некоторую аргументацию.
В любом случае спасибо.
(Правда там получилось, что случай может быть ультра-релятивистским даже если $wt$ мало, но начальная скороть $\frac{v_0}{c}\to 1$)

[amon]

Enceladoglu в сообщении #1648831 писал(а):

Ага, и даже скорости света ?

Сосредоточимся на зависимости $v(t).$ Пусть $t\to\infty.$ К чему стремится $v(t)$? Чему равна поправка к этому пределу, когда время очень велико, но не бесконечно?

[pppppppo_98]

Утундрий в сообщении #1648824 писал(а):

На будущее рекомендую вводить для повторяющихся крокодилов компактные вре́менные обозначения. Формулы станут в разы читабельней и глупых ошибок станет меньше.

и тожестартертпоику...По оформлениию.... что бы не делать глупых ошибок и сократить время написания формул, еще со времен незапамятных повелось в СТО нормировать скорость на скорость света, то есть считать скорость в долях от скорости света, и стало быть скорость реально наблюдаемых объектов меньше 1...Я вас уважаемый уверяю, что тут все знают эту конвенцию... ну и для $\sqrt{1-v^2}^{-1}$ есть стандартное обозначение $\gamma$... Вообще обезразмеривание (грамотное обезразмеривание) физических задач, сильно упрощает жизнь и особенно когда речь зайдет о вычислительных методах... Грамотное обезразмеривание это когда все существенные в задаче переменные имеют величину порядка 1, плюс минус 3 порядка в разные стороны (при динамике)

[Enceladoglu]

amon
$v(t) = \frac{wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} }{\sqrt{1 + c^{-2}(wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2 }} = $ $ \frac{c }{\sqrt{1 + \frac{c^2}{(wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2} }} \approx $ $ c(1 - \frac{1}{2}\frac{c^2}{(wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2} ) $ $ \approx ( t \to \infty) \approx c $.
со скоростью все хорошо
$x(t) = \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + c^{-2}(wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2 } - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0 $ $= \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + (\frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c} (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2} - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0 = $ $ \frac{c^2}{w} [ (\frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c} (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) \sqrt{\frac{1}{(\frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c} (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2} + 1} - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}] + x_0 $ $\approx \frac{c^2}{w} [ (\frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c} (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) (\frac{1}{2} \frac{1}{(\frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c} (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2} + 1) - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}] + x_0 $ $ =$ $ \frac{c^2}{w} [ \frac{1}{2} \frac{1}{wt(\frac{v_0}{wt} (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} + 1)} + \frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c} (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}] + x_0 \approx $ $ ct + \frac{cv_0}{w}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} + x_0 - \frac{c^2}{w}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} $
Последнего слагаемоего, в ответе нет. Опять что-то недоразложил..

[amon]

Enceladoglu в сообщении #1649496 писал(а):

Последнего слагаемоего, в ответе нет.

Как-то сложно все у Вас. К бесконечности стремится $t,$ значит можно зачеркнуть почти все, что $t$ не содержит, и получить ответ в уме.

[Enceladoglu]

amon
Похоже это мое какое-то слабое место в математике, ибо я действительно не совсем понимаю

Цитата:

значит можно зачеркнуть почти все, что $t$ не содержит

Почти - это значит не все, а что именно я не должен зачеркивать ?) Если забить на все что не содержит $t$, то я получу просто $ct$

[amon]

Enceladoglu в сообщении #1649596 писал(а):

Если забить на все что не содержит $t$, то я получу просто $ct$

А что еще Вы хотите получить? Это главный член при очень больших $t.$

[Enceladoglu]

amon
Ну я хочу получить
$ct + \frac{cv_0}{w}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} + x_0 $, ибо это ответ
Но кроме этого я еще получаю слагаемое $- \frac{c^2}{w}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}$

[amon]

amon в сообщении #1649666 писал(а):

$ct + \frac{cv_0}{w}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} + x_0 $

В этом месте возникает вопрос к составителям задачи (ответ маловразумительный, с превышением точности приближения, при этом начальная координата почему-то зависит от начальной скорости). Если удерживать независящие от времени члены, то у меня получается ответ совпадающий с Вашим. Может составители что-то свое под ультра-релятивистским случаем понимают?

[Enceladoglu]

amon

amon писал(а):

при этом начальная координата почему-то зависит от начальной скорости

Да, есть такое, я и не заметил...
Это Батыгин, Топтыгин, номер 565 по старым изданиям(где ответ для общей формулы скорости и координаты равноускоренного движения не верный вообще)
По новым сейчас посмотрю.

-- 12.08.2024, 22:22 --

amon
В новых 3.23

Цитата:

Может составители что-то свое под ультра-релятивистским случаем понимают?

У них перед задачками небольшой свод теории есть, там ничего не сказано про ультрарелятивистский предел

Цитата:

Если удерживать независящие от времени члены, то у меня получается ответ совпадающий с Вашим.

Тут такое дело, в этом ответе тоже начальная координата от скорости зависит..

[amon]

Enceladoglu в сообщении #1649679 писал(а):

Тут такое дело, в этом ответе тоже начальная координата от скорости зависит..

А чуда тут нет. Когда мы считали предел $c\to\infty$ молчаливо предполагалось, что $wt\ll c.$ Поэтому этот предел правильный вплоть до $t=0.$ В пределе $t\to\infty$ область малых $t$ не рассматривается и что там будет при малых $t$ - бог весть. Поэтому константы надо выкидывать - они за пределами точности оценки.

[мат-ламер]

Enceladoglu
Мне ваш ответ более нравится, чем ответ в книге (в которой возможна опечатка). Если следовать книге, то $x(t)-x_0>ct$ , что как-то неестественно. У вас же $ct-x(t)+x_0$ - положительная константа, которая стремится к нулю при возрастании начальной скорости. Думаю, что у вас всё правильно.

Также для проверки можете рассмотреть тривиальный частный случай, в котором $x_0=v_0=0$ .

[Enceladoglu]

мат-ламер
Да, это важное замечание , спасибо. Расстояние которое прошло тело должно быть меньше/равно произведения скорости света на заданное время. Наш ответ этому удовлетворяет, а ответ в учебнике нет
amon
Понял, спасибо. Пожалуй действительно лучше забить на эти члены.