Нерелятивистский и ультрарелятивиский предел

[Enceladoglu]

Формулы скорости и координаты при равноускоренном одномерном движении выглядят так
$v(t) = \frac{wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} }{\sqrt{1 + c^{-2}(wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2 }} $
$x(t) = \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + c^{-2}(wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2 } - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0 $
Нужно найти нерелятивистский и ультрарелятивистский пределы этих формул
Найдем нерелятивистский для скорости, это значит что $\frac{wt}{c} \to 0$, $\frac{v_0}{c} \to 0$
$v(t) = \frac{wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} }{\sqrt{1 + (\frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c} (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2 }} $ $ \approx (wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) (1 - \frac{1}{2}(\frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c} (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2)$ $\approx (wt + v_0 (1+\frac{v_0^2}{2c^2})) (1 - \frac{1}{2}(\frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c} (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2)$ $\approx wt + v_0$
Это соответствует классическому случаю
Теперь тоже и для координаты
$ x(t) = \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + c^{-2}(wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2 } - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0 $ $= \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + (\frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2 } - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0 $ $\approx \frac{c^2}{w} (1 + \frac{1}{2}(\frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2 - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0$ $ \approx \frac{c^2}{w}( 1 + \frac{1}{2}(\frac{(wt)^2}{c^2} + 2 \frac{wt}{c}\frac{v_0}{c}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} + \frac{v_0^2}{c^2}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1}) - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0 $ $ \approx \frac{wt^2}{2} + v_0 t + \frac{v_0^2}{2w} + x_0 $
От классического случая, этот отличается наличием слагаемого $\frac{v_0^2}{2w}$, от которого нельзя просто так избавиться, ибо он такого же порядка как и остальные. По идее, его вообще не должно возникать, а значит я где-то накосячил ?
А как найти предел для ультра-релятивистского случая я вообще не знаю.
Заранее спасибо

[Geen]

Enceladoglu в сообщении #1648794 писал(а):

а значит я где-то накосячил ?

В исходной формуле?

[Enceladoglu]

Geen
Она сопадает с ответом в задачнике
(Но там немного мутная история: при решении у меня получились именно те исходные формулы которые я написал, а в ответе были совсем другие. После чего я открыл более новое издание задачника, и обнаружил что уже в нем ответ совпадает с моим.)

[Утундрий]

Enceladoglu в сообщении #1648794 писал(а):

От классического случая, этот отличается наличием слагаемого $\frac{v_0^2}{2w}$, от которого нельзя просто так избавиться, ибо он такого же порядка как и остальные. По идее, его вообще не должно возникать, а значит я где-то накосячил ?

Это всего лишь константа интегрирования. Физическим смыслом не обладает.

[Geen]

Enceladoglu в сообщении #1648794 писал(а):

А как найти предел для ультра-релятивистского случая я вообще не знаю.

Считать, что $w t$ много больше всего остального.

[Enceladoglu]

Утундрий
Я предполагал при выводе исходной формулы, что у меня $x(0) = x_0$ (и это верно, если подставить в исходную формулу для $x(t)$ значение $ t = 0$, то получим $x(0) = x_0$) , а тут выскочила какая-то еще константа, из-за которой у меня $ x(0) = x_0 + \frac{v_0^2}{2w}$. Значит, где-то косяк..

-- 07.08.2024, 18:25 --

Geen
А что насчет $v_0$ ?

[Geen]

Enceladoglu в сообщении #1648809 писал(а):

то получим $x(0) = x_0$

Действительно получим?

[Enceladoglu]

Geen
Давайте считать
$x(t) = \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + c^{-2}(wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2 } - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0 $
$x(0) = \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + c^{-2}(v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2 } - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0 $ $ = \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + (\frac{v_0}{c} (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2 } - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0 = $ $ = \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + \frac{\frac{v_0^2}{c^2}}{1-\frac{v_0^2}{c^2}} } - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0 = \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + \frac{\frac{v_0^2}{c^2}}{1-\frac{v_0^2}{c^2}} } - \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_0^2}{c^2}}}) + x_0 $ $ = \frac{c^2}{w} (\sqrt{\frac{1-\frac{v_0^2}{c^2} + \frac{v_0^2}{c^2}}{1-\frac{v_0^2}{c^2}} } - \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_0^2}{c^2}}}) + x_0 $ $ = \frac{c^2}{w} (\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_0^2}{c^2}} } - \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_0^2}{c^2}}}) + x_0$ $ = 0 + x_0 = x_0$

[12d3]

Enceladoglu в сообщении #1648794 писал(а):

Теперь тоже и для координаты

Наверное, точности приближения не хватает, надо до третьего члена ряда Тейлора считать.

[espe]

Enceladoglu в сообщении #1648794 писал(а):

Теперь тоже и для координаты
$ x(t) = \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + c^{-2}(wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2 } - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0 $ $= \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + (\frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2 } - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0 $ $\approx \frac{c^2}{w} (1 + \frac{1}{2}(\frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2 - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0$ $ \approx \frac{c^2}{w}( 1 + \frac{1}{2}(\frac{(wt)^2}{c^2} + 2 \frac{wt}{c}\frac{v_0}{c}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} + \frac{v_0^2}{c^2}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1}) \boxed{ - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}}) + x_0 $ $ \approx \frac{wt^2}{2} + v_0 t + \frac{v_0^2}{2w} + x_0 $

Вы потеряли слагаемое в рамке

[amon]

Enceladoglu в сообщении #1648794 писал(а):

От классического случая, этот отличается наличием слагаемого $\frac{v_0^2}{2w}$,

Mathematica для вашего

$x(t) = \frac{c^2}{w} (\sqrt{1 + c^{-2}(wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2})^2 } - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0 $

выдает предел $c\to\infty$
$x(t)=\frac{t^2 w}{2}+t v_0+x_0,$
так что ищите ошибку в вычислении предела.

[Enceladoglu]

amon
Нашел!
12d3
Да, Вы правы
espe
Да, я недоразложил слагаемое в рамке, спасибо. Его нужно было разложить до $(1+\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{c^2}) $. Я же тупо предположил что это единица. На слагаемые 3-го и больше порядка можно забить
$\frac{c^2}{w}( 1 + \frac{1}{2}(\frac{(wt)^2}{c^2} + 2 \frac{wt}{c}\frac{v_0}{c}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} + \frac{v_0^2}{c^2}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1}) - (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2}) + x_0 = $ $\frac{c^2}{w}( 1 + \frac{1}{2}(\frac{(wt)^2}{c^2} + 2 \frac{wt}{c}\frac{v_0}{c}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} + \frac{v_0^2}{c^2}(1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1}) - (1+\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{c^2})) + x_0$ $ = \frac{c^2}{w}( 1 + \frac{1}{2}\frac{(wt)^2}{c^2} + \frac{wt}{c}\frac{v_0}{c}(1+\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{c^2}) + \frac{1}{2} \frac{v_0^2}{c^2}(1+\frac{v_0^2}{c^2}) - 1- \frac{1}{2}\frac{v_0^2}{c^2}) + x_0$ $ = $ $ \frac{wt^2}{2} + v_0 t + x_0 $
(Интересно, подход при котором мы устремляем $ c \to \infty$ не зависимо от $v_0$ и $w$, и подход, при котором мы говорим что именно $\frac{wt}{c} \to 0$, $\frac{v_0}{c} \to 0$ всегда дают один результат ?)
Так, теперь мне осталось найти ультрарелятивистский предел. Попробую для начала сделать это сам. Как я понял, $v_0$ устремлять к $c$ не стоит, ибо так я автоматически уберу из рассмотрения вариант, когда начальная скорость частицы была мала, а ультрарелятивистским случай стал только к моменту времени $t$

[Утундрий]

Enceladoglu
На будущее рекомендую вводить для повторяющихся крокодилов компактные вре́менные обозначения. Формулы станут в разы читабельней и глупых ошибок станет меньше.

[Enceladoglu]

Утундрий
Да, лучше так и делать в будущем.

-- 07.08.2024, 21:32 --

Так, будущее наступило уже сейчас
Потому что я так и не понял как находить ультра-релятивистский предел
У меня $wt$ должно быть намного больше чем что ?
Я изначально подумал что она должна стремиться к скорости света, но потом понял что это вообще говоря не настоящая скорость, настоящая скорость дана в исходной формуле. А величина $wt$ может быть наверное и больше скорости света ?

-- 07.08.2024, 21:58 --

Обозначим $q = wt + v_0 (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} $
Тогда исходная формула для скорости принимает вид
$v = \frac{q}{\sqrt{1+q^2/c^2}}$
Пусть у нас ультрарелятивистский случай, $ v = c - \delta $,где $\delta$ мало
$c - \delta = \frac{q}{\sqrt{1+q^2/c^2}}$
$1 - \frac{\delta}{c} = \frac{q/c}{\sqrt{1+q^2/c^2}}$
Обозначение $q/c = p$
$1 - \frac{\delta}{c} = \frac{p}{\sqrt{1+p^2}}$
$\frac{p^2}{1+p^2} = (1 - \frac{\delta}{c})^2 \approx 1 - \frac{\delta}{2c}$
$p^2 = 1 + p^2 - \frac{\delta}{2c} - \frac{\delta}{2c} p^2 $
$ p^2 = \frac{1 - \frac{\delta}{2c}}{ \frac{\delta}{2c}}$
Понятно, что $p$ стремиться к бесконечности при малом $\delta$
Это значит что $ \frac{wt}{c} + \frac{v_0}{c} (1-\frac{v_0^2}{c^2})^{-1/2} \to \infty$
Отсюда в частности видно, что
1) Если начальная скорость большая по сравнению со скоростью света, то $\frac{wt}{c}$ не обязана стремиться к бесконечности
2) Если начальная скорость мала по сравнению со скоростью света, то $\frac{wt}{c}$ стремиться к бесконечности, а значит $wt$ намного больше скорости света

[Утундрий]

Enceladoglu в сообщении #1648827 писал(а):

я так и не понял как находить ультра-релятивистский предел
У меня $wt$ должно быть намного больше чем что ?

Чем всё.