Формула полной вероятности

[TurboBeaver]

Помогите, пожалуйста, разобраться - никак не могу понять смысл события $A$, которое рассматривается в формуле полной вероятности:

$P(A)=P(H_1)P(A|H_1)+ \ldots + P(H_n)P(A|H_n)$

Просмотрел несколько книг, везде формула полной вероятности доказывается примерно одинаково, т.е. рассматривается такое равенство:

$A=A\Omega = A(H_1+\ldots + H_n)=AH_1+\ldots+AH_n$

И исходя из этого уже получается сама формула. Т.е., если я верно понимаю, событие $A$ входит в то же самое пространство элементарных исходов, что и гипотезы $H_i$, и это логично, ибо в противном случае их пересечение (т.е. $AH_i$) было бы пустым.

Но когда начинаю размышлять чуть дальше, то начинаю теряться. Вот, например, простая задача - есть две группы спортсменов: №1 (из трёх человек) и №2 (из двух человек). Вероятность выполнить норму для первой группы равна 0,1; для второй группы - 0,2. Нужно найти вероятность события $A$ - наугад выбранный спортсмен выполнит норму.

Насколько я понимаю, пространство элементарных исходов тут таково: $\Omega = \left\lbrace w_1,w_2,w_3,w_4, w_5\right\rbrace$, где исход $w_i$ соответствует выбору i-го спортсмена (первые три для первой группы, и два оставшихся - для второй). Гипотеза $H_1$ (выбран спортсмен первой группы) содержит в себе такие исходы: $H_1 = \left\lbrace w_1,w_2,w_3\right\rbrace$, и согласно формуле классической вероятности получим $P(H_1)=\frac{3}{5}$.

Но вот как описать в этом пространстве $\Omega$ событие $A|H_1$? Какие исходы в него включить - ведь это подмножество $\Omega$, а значит некие исходы в него таки входить должны?

Даже если записать, что согласно условию $P(A|H_1)=\frac{1}{10}$, то получается, что в событие $A|H_1$ входит один исход из десяти? Так элементарных исходов же всего пять :)

Или запись $P(A|H_1)=\frac{1}{10}$ означает, что в событие $A$ входит $\frac{1}{10}$ исходов гипотезы $H_1$? Но это получается совсем странным, особенно если учесть, что $H_1$ содержит всего 3 исхода.

В общем, я как-то основательно запутался и выпутаться не получается :(

[ozheredov]

TurboBeaver в сообщении #1647800 писал(а):

событие $A$ входит в то же самое пространство элементарных исходов, что и гипотезы $H_i$, и это логично

Событие $A$ - "птицы завтра улетят на юг", гипотеза $H_1$ - "завтра температура будет меньше нуля" ($p = 0.1$), гипотеза $H_2$ - "завтра температура будет больше нуля" ($p = 0.9$). Улёт происходит с $P(A|H_1) = 0.95$ и с $P(A|H_2) = 0.112$ (задача, есессно, найти $P(A)$). В какое пространство элементарных исходов одновременно входят $A$, $H_1$ и $H_2$?

P.S.

TurboBeaver в сообщении #1647800 писал(а):

я как-то основательно запутался

Сами ж написали:

TurboBeaver в сообщении #1647800 писал(а):

$A=A\Omega$

Не наталкивает на мысль?

[TurboBeaver]

ozheredov в сообщении #1647801 писал(а):

Не наталкивает на мысль?

Честно говоря, не очень :(

У меня была одна мысль: формировать пространство элементарных исходов $\Omega$ парами вида $(x,y)$. Т.е. если вернуться к задаче про спортсменов, о которой я писал изначально, то включить в пространство $\Omega$ не один элемент $w_i$, а 10 пар вида $(w_i, m)$, где $m$ принимает значения 0 (несдача норматива) или 1 (сдача норматива).

Например, вместо элемента $w_1$ будет 10 пар, из которых 9 пар имеют вид $(w_1,0)$, а одна пара имеет вид $(w_1, 1)$. А вместо элемента $w_3$ будет тоже 10 пар, из которых 8 имеют вид $(w_3,0)$, а две пары таковы: $(w_3,1)$.

Тогда спортсменам первой группы будет соответствовать 30 пар, из которых 27 будут иметь вид $(w_i, 0)$, а 3 пары будут иметь вид $(w_i, 1)$, где i принимает значения 1, 2 или 3.

Аналогично, спортсменам второй группы будет соответствовать 20 пар, из которых 16 будут иметь вид $(w_i, 0)$, а 4 пары будут вида $(w_i, 1)$, где i принимает значения 4 или 5.

В этих обозначениях событие $H_1$ будет включать в себя 30 пар из 50, т.е. $p(H_1)=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$. Событие же $A|H_1$ будет включать в себя все пары, входящие в $H_1$, у которых вторая компонента равна 1. Следовательно, что и соответствует условию, $p(A|H_1) = \frac{3}{30}=\frac{1}{10}$.

А само событие $A$ в таких обозначениях будет включать в себя все пары, у которых вторая компонента равна 1, т.е. всего 7 пар, откуда $P(A)=\frac{7}{50}$, что соответствует результату, полученному по формуле полной вероятности:

$\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{10}+\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{10} = \frac{7}{50}$

Но эта схема сведения воедино гипотез $H_1$ и события $A$ кажется какой-то чересчур странной и корявой :(

[ozheredov]

TurboBeaver в сообщении #1647805 писал(а):

формировать пространство элементарных исходов $\Omega$ парами вида $(x,y)$

TurboBeaver в сообщении #1647805 писал(а):

Но эта схема сведения воедино гипотез $H_1$ и события $A$ кажется какой-то чересчур странной и корявой :(

Почему?

[mihaild]

TurboBeaver в сообщении #1647800 писал(а):

Насколько я понимаю, пространство элементарных исходов тут таково: $\Omega = \left\lbrace w_1,w_2,w_3,w_4, w_5\right\rbrace$,

Это неправильно, такое пространство не позволяет говорить о событии "спортсмен сдал норму".

TurboBeaver в сообщении #1647805 писал(а):

Но эта схема сведения воедино гипотез $H_1$ и события $A$ кажется какой-то чересчур странной и корявой

И гипотезы, и события - некоторые множества элементарных исходов. Элементарный исход - это полное описание вообще всего произошедшего. Так что логично, что и гипотезы, и события являются подмножествами множества элементарных исходов.
Впрочем чуть дальше будет теорема Колмогорова, которая утверждает, что если заданы вероятности (с некоторыми свойствами), то множество элементарных исходов подобрать можно. Поэтому о нем самом обычно не думают, а думают только о вероятностях.

[TurboBeaver]

ozheredov, mihaild, спасибо за ответы!

ozheredov в сообщении #1647807 писал(а):

Почему?

Ну, это кажется каким-то самопальным колхозингом, костылём для подгонки, которого я не встречал в пересмотренной литературе :)
А если самопальное, то явно с чем-то имеющее проблемы. Потому что если бы это было истинным, авторы написали бы об этом в учебниках в явной форме, а я такого учебника не нашёл, хотя искал :(
Все пишут о равенстве $A=A\left(H_1+\ldots+H_n\right)$, а как связать логически воедино в одном пространстве $\Omega$ гипотезы $H_i$ и событие $A$ ни в одном из просмотренных учебников не было.

-- 30.07.2024, 12:34 --

mihaild в сообщении #1647824 писал(а):

Впрочем чуть дальше будет теорема Колмогорова, которая утверждает, что если заданы вероятности (с некоторыми свойствами), то множество элементарных исходов подобрать можно. Поэтому о нем самом обычно не думают, а думают только о вероятностях.

Я взял за основу книгу Бочарова и Печинкина "Теория вероятностей. Математическая статистика". Бегло пролистал дальнейшее - нашёл теорему, которая в учебнике именуется как "усиленный закон больших чисел", доказанную Колмогоровым. Вы имели в виду эту теорему, или некую иную? Может, я не совсем удачно выбрал книгу для изучения, и есть некая книга, в которой изложение более полное? Некий аналог Фихтенгольца для теории вероятностей и статистики :)

[mihaild]

TurboBeaver в сообщении #1647827 писал(а):

Вы имели в виду эту теорему, или некую иную?

Другую. Теорема Колмогорова о существовании меры.
Судя по оглавлению, в найденной Вами книге изложение идет вообще без теории меры. Этого для приложений вполне достаточно. Если интересует более глубокий вариант - Ширяев, "Вероятность". Но это существенно более сложная книга, и для задач уровня "две группы людей с такими-то свойствами, посчитать вероятность чего-то" избыточна.