2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Формула полной вероятности
Сообщение30.07.2024, 00:12 


20/03/22
7
Помогите, пожалуйста, разобраться - никак не могу понять смысл события $A$, которое рассматривается в формуле полной вероятности:

$P(A)=P(H_1)P(A|H_1)+ \ldots + P(H_n)P(A|H_n)$

Просмотрел несколько книг, везде формула полной вероятности доказывается примерно одинаково, т.е. рассматривается такое равенство:

$A=A\Omega = A(H_1+\ldots + H_n)=AH_1+\ldots+AH_n$

И исходя из этого уже получается сама формула. Т.е., если я верно понимаю, событие $A$ входит в то же самое пространство элементарных исходов, что и гипотезы $H_i$, и это логично, ибо в противном случае их пересечение (т.е. $AH_i$) было бы пустым.

Но когда начинаю размышлять чуть дальше, то начинаю теряться. Вот, например, простая задача - есть две группы спортсменов: №1 (из трёх человек) и №2 (из двух человек). Вероятность выполнить норму для первой группы равна 0,1; для второй группы - 0,2. Нужно найти вероятность события $A$ - наугад выбранный спортсмен выполнит норму.

Насколько я понимаю, пространство элементарных исходов тут таково: $\Omega = \left\lbrace w_1,w_2,w_3,w_4, w_5\right\rbrace$, где исход $w_i$ соответствует выбору i-го спортсмена (первые три для первой группы, и два оставшихся - для второй). Гипотеза $H_1$ (выбран спортсмен первой группы) содержит в себе такие исходы: $H_1 =  \left\lbrace w_1,w_2,w_3\right\rbrace$, и согласно формуле классической вероятности получим $P(H_1)=\frac{3}{5}$.

Но вот как описать в этом пространстве $\Omega$ событие $A|H_1$? Какие исходы в него включить - ведь это подмножество $\Omega$, а значит некие исходы в него таки входить должны?

Даже если записать, что согласно условию $P(A|H_1)=\frac{1}{10}$, то получается, что в событие $A|H_1$ входит один исход из десяти? Так элементарных исходов же всего пять :)

Или запись $P(A|H_1)=\frac{1}{10}$ означает, что в событие $A$ входит $\frac{1}{10}$ исходов гипотезы $H_1$? Но это получается совсем странным, особенно если учесть, что $H_1$ содержит всего 3 исхода.

В общем, я как-то основательно запутался и выпутаться не получается :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула полной вероятности
Сообщение30.07.2024, 00:22 


10/03/16
4444
Aeroport
TurboBeaver в сообщении #1647800 писал(а):
событие $A$ входит в то же самое пространство элементарных исходов, что и гипотезы $H_i$, и это логично


Событие $A$ - "птицы завтра улетят на юг", гипотеза $H_1$ - "завтра температура будет меньше нуля" ($p = 0.1$), гипотеза $H_2$ - "завтра температура будет больше нуля" ($p = 0.9$). Улёт происходит с $P(A|H_1) = 0.95$ и с $P(A|H_2) = 0.112$ (задача, есессно, найти $P(A)$). В какое пространство элементарных исходов одновременно входят $A$, $H_1$ и $H_2$?

P.S.
TurboBeaver в сообщении #1647800 писал(а):
я как-то основательно запутался

Сами ж написали:
TurboBeaver в сообщении #1647800 писал(а):
$A=A\Omega$

Не наталкивает на мысль?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула полной вероятности
Сообщение30.07.2024, 01:04 


20/03/22
7
ozheredov в сообщении #1647801 писал(а):
Не наталкивает на мысль?

Честно говоря, не очень :(

У меня была одна мысль: формировать пространство элементарных исходов $\Omega$ парами вида $(x,y)$. Т.е. если вернуться к задаче про спортсменов, о которой я писал изначально, то включить в пространство $\Omega$ не один элемент $w_i$, а 10 пар вида $(w_i, m)$, где $m$ принимает значения 0 (несдача норматива) или 1 (сдача норматива).

Например, вместо элемента $w_1$ будет 10 пар, из которых 9 пар имеют вид $(w_1,0)$, а одна пара имеет вид $(w_1, 1)$. А вместо элемента $w_3$ будет тоже 10 пар, из которых 8 имеют вид $(w_3,0)$, а две пары таковы: $(w_3,1)$.

Тогда спортсменам первой группы будет соответствовать 30 пар, из которых 27 будут иметь вид $(w_i, 0)$, а 3 пары будут иметь вид $(w_i, 1)$, где i принимает значения 1, 2 или 3.

Аналогично, спортсменам второй группы будет соответствовать 20 пар, из которых 16 будут иметь вид $(w_i, 0)$, а 4 пары будут вида $(w_i, 1)$, где i принимает значения 4 или 5.

В этих обозначениях событие $H_1$ будет включать в себя 30 пар из 50, т.е. $p(H_1)=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$. Событие же $A|H_1$ будет включать в себя все пары, входящие в $H_1$, у которых вторая компонента равна 1. Следовательно, что и соответствует условию, $p(A|H_1) = \frac{3}{30}=\frac{1}{10}$.

А само событие $A$ в таких обозначениях будет включать в себя все пары, у которых вторая компонента равна 1, т.е. всего 7 пар, откуда $P(A)=\frac{7}{50}$, что соответствует результату, полученному по формуле полной вероятности:

$\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{10}+\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{10} = \frac{7}{50}$

Но эта схема сведения воедино гипотез $H_1$ и события $A$ кажется какой-то чересчур странной и корявой :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула полной вероятности
Сообщение30.07.2024, 02:19 


10/03/16
4444
Aeroport
TurboBeaver в сообщении #1647805 писал(а):
формировать пространство элементарных исходов $\Omega$ парами вида $(x,y)$

TurboBeaver в сообщении #1647805 писал(а):
Но эта схема сведения воедино гипотез $H_1$ и события $A$ кажется какой-то чересчур странной и корявой :(


Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула полной вероятности
Сообщение30.07.2024, 11:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9151
Цюрих
TurboBeaver в сообщении #1647800 писал(а):
Насколько я понимаю, пространство элементарных исходов тут таково: $\Omega = \left\lbrace w_1,w_2,w_3,w_4, w_5\right\rbrace$,
Это неправильно, такое пространство не позволяет говорить о событии "спортсмен сдал норму".
TurboBeaver в сообщении #1647805 писал(а):
Но эта схема сведения воедино гипотез $H_1$ и события $A$ кажется какой-то чересчур странной и корявой
И гипотезы, и события - некоторые множества элементарных исходов. Элементарный исход - это полное описание вообще всего произошедшего. Так что логично, что и гипотезы, и события являются подмножествами множества элементарных исходов.
Впрочем чуть дальше будет теорема Колмогорова, которая утверждает, что если заданы вероятности (с некоторыми свойствами), то множество элементарных исходов подобрать можно. Поэтому о нем самом обычно не думают, а думают только о вероятностях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула полной вероятности
Сообщение30.07.2024, 12:25 


20/03/22
7
ozheredov, mihaild, спасибо за ответы!

ozheredov в сообщении #1647807 писал(а):
Почему?

Ну, это кажется каким-то самопальным колхозингом, костылём для подгонки, которого я не встречал в пересмотренной литературе :)
А если самопальное, то явно с чем-то имеющее проблемы. Потому что если бы это было истинным, авторы написали бы об этом в учебниках в явной форме, а я такого учебника не нашёл, хотя искал :(
Все пишут о равенстве $A=A\left(H_1+\ldots+H_n\right)$, а как связать логически воедино в одном пространстве $\Omega$ гипотезы $H_i$ и событие $A$ ни в одном из просмотренных учебников не было.

-- 30.07.2024, 12:34 --

mihaild в сообщении #1647824 писал(а):
Впрочем чуть дальше будет теорема Колмогорова, которая утверждает, что если заданы вероятности (с некоторыми свойствами), то множество элементарных исходов подобрать можно. Поэтому о нем самом обычно не думают, а думают только о вероятностях.

Я взял за основу книгу Бочарова и Печинкина "Теория вероятностей. Математическая статистика". Бегло пролистал дальнейшее - нашёл теорему, которая в учебнике именуется как "усиленный закон больших чисел", доказанную Колмогоровым. Вы имели в виду эту теорему, или некую иную? Может, я не совсем удачно выбрал книгу для изучения, и есть некая книга, в которой изложение более полное? Некий аналог Фихтенгольца для теории вероятностей и статистики :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула полной вероятности
Сообщение30.07.2024, 13:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9151
Цюрих
TurboBeaver в сообщении #1647827 писал(а):
Вы имели в виду эту теорему, или некую иную?
Другую. Теорема Колмогорова о существовании меры.
Судя по оглавлению, в найденной Вами книге изложение идет вообще без теории меры. Этого для приложений вполне достаточно. Если интересует более глубокий вариант - Ширяев, "Вероятность". Но это существенно более сложная книга, и для задач уровня "две группы людей с такими-то свойствами, посчитать вероятность чего-то" избыточна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group