Импликация

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1647591 писал(а):

Если Сократ человек, то он смертен -- "из истины истина".

Если он не человек, то он либо смертен (например, если он астероид) -- "из лжи истина", либо бессмертен (например, если он бог) -- "из лжи ложь". Это и есть ex falso quodlibet?

Да. И во всех этих случаях (и когда Сократ человек, и когда он не человек) импликация "Если Сократ человек, то он смертен" истинна. Поэтому и неудивительно, если такую импликацию удаётся доказать в теории, в аксиомах которой про Сократа ничего не говорится.

[epros]

При этом импликация "Если Сократ не человек, то он либо смертен, либо бессмертен" не особо интересная вещь, ибо она истинна (в классической логике) независимо от наличия первой аксиомы.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1647592 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1647591 писал(а):

Если он не человек, то он либо смертен <...> -- "из лжи истина", либо бессмертен <...> -- "из лжи ложь". Это и есть ex falso quodlibet?

Да.

epros в сообщении #1647618 писал(а):

При этом импликация "Если Сократ не человек, то он либо смертен, либо бессмертен" не особо интересная вещь, ибо она истинна (в классической логике) независимо от наличия первой аксиомы.

Я разочарован. От ex falso quodlibet я ожидал чего-то большего.

Мне и сразу приходила мысль, что, может быть -- при истинных $A$ и $B$ -- это $\neg A\to (\neg B\oplus B)$ (здесь исключающее "или"), но я не мог поверить, что это так, и искал чего-то другого.

Ведь "Из того, что Сократ не человек, следует, что он либо смертен, либо бессмертен" -- это не однозначное следование (о таком следовании я писал в предыдущей теме, но тогда я не знал, что был так близок к истине). Если считать следованиями только однозначные следования, то это вообще не следование, так же как, если считать функциями только однозначные функции, неоднозначные функции это вообще не функции.

С этой точки зрения (на которой я крепко стоял), если из лжи следует и ложь, и правда, то из нее не следует ничего -- потому что под (однозначным) следованием понимается, что следует либо ложь, и тогда не следует правда, либо правда, и тогда не следует ложь.

Я думал, что импликации, на которых действует закон ex falso quodlibet, должны быть однозначными, а однозначных импликаций для двух простых высказываний всего восемь, то есть четыре пары: пусть $A$ и $B$ истинны, тогда истинные импликации это

1) $A\to B$ -- "из истины истина", а ее пара по закону контрапозиции -- $\neg B\to \neg A$ -- "из лжи ложь",

2) $B\to A$ -- "из истины истина", а ее пара по закону контрапозиции -- $\neg A\to \neg B$ -- "из лжи ложь",

3) $\neg A\to B$ -- "из лжи истина", а ее пара по закону контрапозиции -- $\neg B\to A$ -- "из лжи истина", --

а ложные импликации это:

4) $A\to \neg B$ -- "из истины ложь", а ее пара по закону контрапозиции -- $B\to \neg A$ -- "из истины ложь".

Так вот я думал, что две соответствующие импликации для одного ex falso quodlibet должны браться из первых трех пар, например, $\neg A\to \neg B$ из второй пары и $\neg A\to B$ из третьей пары.

Но, разумеется, хоть я и разочарован тем, что ex falso quodlibet оказался далеко не таким интересным, как я подозревал, я рад, что понял наконец, что это такое.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1647674 писал(а):

Мне и сразу приходила мысль, что, может быть -- при истинных $A$ и $B$ -- это $\neg A\to (\neg B\oplus B)$ (здесь исключающее "или"), но я не мог поверить, что это так, и искал чего-то другого.

Какая-то не та Вам мысль пришла. Насколько я понимаю "Да" Mikhail_K относится к тому, что импликация "Если Сократ человек, то он смертен" истинна даже если Сократ - не человек, именно в силу ex falso quodlibet. А импликация "Если Сократ не человек, то он либо смертен, либо бессмертен" истинна просто в силу закона исключённого третьего, ex falso quodlibet здесь ни при чём.

Vladimir Pliassov в сообщении #1647674 писал(а):

Ведь "Из того, что Сократ не человек, следует, что он либо смертен, либо бессмертен" -- это не однозначное следование (о таком следовании я писал в предыдущей теме, но тогда я не знал, что был так близок к истине). Если считать следованиями только однозначные следования, то это вообще не следование, так же как, если считать функциями только однозначные функции, неоднозначные функции это вообще не функции.

Теперь Вы придумываете какие-то новые феньки, типа "однозначных" и "неоднозначных" следований? Так нет таких в логике. Есть просто следование, записывается импликацией. Если импликация истинна в обе стороны, то это называется "равносильностью".

Vladimir Pliassov в сообщении #1647674 писал(а):

я рад, что понял наконец, что это такое

Это вряд ли.

[Mikhail_K]

epros в сообщении #1647686 писал(а):

Насколько я понимаю "Да" Mikhail_K относится к тому, что импликация "Если Сократ человек, то он смертен" истинна даже если Сократ - не человек, именно в силу ex falso quodlibet. А импликация "Если Сократ не человек, то он либо смертен, либо бессмертен" истинна просто в силу закона исключённого третьего, ex falso quodlibet здесь ни при чём.

Да, именно так.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1647690 писал(а):

epros в сообщении #1647686 писал(а):

Насколько я понимаю "Да" Mikhail_K относится к тому, что импликация "Если Сократ человек, то он смертен" истинна даже если Сократ - не человек, именно в силу ex falso quodlibet. А импликация "Если Сократ не человек, то он либо смертен, либо бессмертен" истинна просто в силу закона исключённого третьего, ex falso quodlibet здесь ни при чём.

Да, именно так.

Как я понимаю, импликация "Если Сократ не человек, то он либо смертен, либо бессмертен" является или не является ex falso quodlibet в зависимости от того, рассматривается ли при этом импликация "Если Сократ человек, то он смертен".

Обозначим множество всех существ через $1$, множество всех смертных существ -- через $\mathsf A$, множество людей -- через $\mathsf B$, общим обозначением существ возьмем $x$. Тогда аксиоме $B\to A$ ("человек смертен") будет соответствовать включение множества $\mathsf B$ в множество $\mathsf A$: $\mathsf B\subset \mathsf A$ (рис. 1).



Импликация $B\to A$ всегда идет в паре с импликацией $\neg B\to (A\oplus \neg A)$: там, где есть импликация $B\to A$, обязательно есть и импликация $\neg B\to (A\oplus \neg A)$. Это хорошо видно на рис. 1.

Но обратное не верно. На рис. 2 мы видим импликацию $\neg B\to (A\oplus \neg A)$ и не видим импликации $B\to A$.

Так вот, как я понимаю, когда импликация $\neg B\to (A\oplus \neg A)$ рассматривается вместе с импликацией $B\to A$, она является ex falso quodlibet, а когда рассматривается без импликации $B\to A$, то нет.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1647799 писал(а):

Импликация $B\to A$ всегда идет в паре с импликацией $\neg B\to (A\oplus \neg A)$: там, где есть импликация $B\to A$, обязательно есть и импликация $\neg B\to (A\oplus \neg A)$.

Возможно, Вы имели в виду: если справедливо $B\to A$, то справедливо и $\neg B\to (A\vee \neg A)$. Это так - но просто потому, что $\neg B\to (A\vee \neg A)$ верно вообще всегда.

Да, импликация $B\to A$ означает "если $B$ верно, то $A$ верно". Да, при этом подразумевается "а если $B$ неверно, то $A$ может быть как верным, так и неверным". Но подразумевается потому, что это само собой понятно, вовсе не обязательно это каждый раз акцентировать.

Vladimir Pliassov в сообщении #1647799 писал(а):

Но обратное не верно. На рис. 2 мы видим импликацию $\neg B\to (A\oplus \neg A)$ и не видим импликации $B\to A$.

Ну да: $\neg B\to (A\vee \neg A)$ верно всегда, а $B\to A$ верно не всегда.

Vladimir Pliassov в сообщении #1647799 писал(а):

она является ex falso quodlibet

Вы усложняете. ex falso quodlibet - это не какая-то характеристика импликации, а просто принцип, согласно которому "из лжи следует что угодно" (т.е. если $A$ ложно, то $A\to B$ истинно).

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1647799 писал(а):

Так вот, как я понимаю, когда импликация $\neg B\to (A\oplus \neg A)$ рассматривается вместе с импликацией $B\to A$, она является ex falso quodlibet, а когда рассматривается без импликации $B\to A$, то нет.

Импликация $\neg B\to (A\oplus \neg A)$ является тождественной истиной. Вы хотите сказать, что истина предстает в разных обличьях в зависимости от того, что положили рядом с ней?

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1647799 писал(а):

Как я понимаю, импликация "Если Сократ не человек, то он либо смертен, либо бессмертен" является или не является ex falso quodlibet в зависимости от того, рассматривается ли при этом импликация "Если Сократ человек, то он смертен".

Неправильно понимаете. Импликации - это не ex falso quodlibet. Импликация "Если Сократ не человек, то он либо смертен, либо бессмертен" истинна в силу правила, согласно которому истинна импликация с любым истинным заключением. А импликация "Если Сократ человек, то он смертен" истинна потому что принята первая аксиома.

Vladimir Pliassov в сообщении #1647799 писал(а):

Обозначим множество всех существ через $1$, множество всех смертных существ -- через $\mathsf A$, множество людей -- через $\mathsf B$, общим обозначением существ возьмем $x$. Тогда аксиоме $B\to A$ ("человек смертен") будет соответствовать включение множества $\mathsf B$ в множество $\mathsf A$: $\mathsf B\subset \mathsf A$ (рис. 1).

Да, на языке теории множеств можно трактовать импликацию "Человек смертен" как утверждение о том, что множество человеков является подмножеством смертных. Так что первая аксиома соответствует рисунку 1. "Сократ" - это просто элемент какого-то из множеств.

Vladimir Pliassov в сообщении #1647799 писал(а):

Импликация $B\to A$ всегда идет в паре с импликацией $\neg B\to (A\oplus \neg A)$: там, где есть импликация $B\to A$, обязательно есть и импликация $\neg B\to (A\oplus \neg A)$. Это хорошо видно на рис. 1.

Не знаю, как Вы именно это увидели на рисунке 1. Импликация "Если некто не человек, то он либо смертен, либо бессмертен" на языке теории множеств означает, что множество не человеков является подмножеством всего универсума. Это будет верно на любом рисунке, как бы Вы ни изобразили множество человеков.

Vladimir Pliassov в сообщении #1647799 писал(а):

Но обратное не верно. На рис. 2 мы видим импликацию $\neg B\to (A\oplus \neg A)$ и не видим импликации $B\to A$.

Я не понимаю этих слов. Согласно любому рисунку импликация (как утверждение о множествах) может быть верной или неверной. Согласно рисунку 2 импликация "Человек смертен" неверна. А импликация "Если некто не человек, то он либо смертен, либо бессмертен" будет верна согласно любому рисунку.

Vladimir Pliassov в сообщении #1647799 писал(а):

Так вот, как я понимаю, когда импликация $\neg B\to (A\oplus \neg A)$ рассматривается вместе с импликацией $B\to A$, она является ex falso quodlibet, а когда рассматривается без импликации $B\to A$, то нет.

Ex falso quodlibet - это просто правило, на языке теории множеств оно означает, что пустое множество является подмножеством любого множества, в том числе, пустого. Понимайте это как хотите.

Кстати, правило конкретизации всеобщности, которое применяется в силлогизме про Сократа, в терминах диаграмм Венна можно понимать так, что мы имеем право вырезать любой кусок из диаграммы. Согласно силлогизму из рисунка 1 вырезается кусочек размером с одну точку. Если эта точка - внутри множества человеков, то и множество человеков, и множество смертных оказываются состоящими из одного смертного Сократа, импликация "Человек смертен" остаётся верной в силу того, что истинное утверждение (о смертности Сократа) следует из чего угодно. А если эта точка оказывается в множестве не человеков, то импликация "Человек смертен" остаётся верной в силу ex falso quodlibet.

[Vladimir Pliassov]

1.

Mikhail_K в сообщении #1647803 писал(а):

Вы усложняете. ex falso quodlibet - это не какая-то характеристика импликации, а просто принцип, согласно которому "из лжи следует что угодно" (т.е. если $A$ ложно, то $A\to B$ истинно).

Подвергнем этот принцип испытанию.

Снова рассмотрим первую аксиому, изображенную на рис. 1.

epros в сообщении #1647813 писал(а):

Да, на языке теории множеств можно трактовать импликацию "Человек смертен" как утверждение о том, что множество человеков является подмножеством смертных. Так что первая аксиома соответствует рисунку 1. "Сократ" - это просто элемент какого-то из множеств.

epros в сообщении #1647392 писал(а):

Вторая аксиома записывается как:
$Human(Socrates)$.

Для общности второй аксиомой возьмем $\lambda\in \mathsf B$. Тогда высказывание $B=$"$\lambda \in \mathsf B$" будет истинно, а высказывание $\neg B=$"$\lambda \notin \mathsf B=\lambda \in \overline {\mathsf B}$" -- ложно, то есть высказывание $\neg B$ это та самая ложь, о которой в законе ex falso quodlibet говорится, что из нее следует что угодно.

Проверим, так ли это. Под словами "что угодно" здесь понимается, конечно, не вообще все, что угодно, а только $A$ или $\neg A$, правильно? (Здесь $A=$"$\lambda\in \mathsf A$", а $\neg A=$ "$\lambda\notin \mathsf A=\lambda\in \overline {\mathsf A}$", $\overline {\mathsf A}$ это дополнение $\mathsf A$, $\overline {\mathsf B}$ -- дополнение $\mathsf B$.)

Так вот, мне угодно, чтобы из $\neg B$ следовало $A$. Следует оно? Нет.

А $\neg A$ из $\neg B$ следует? Тоже нет.

Значит, из $\neg B$ не следует ни $A$, ни $\neg A$. То есть закон не работает так, как он заявлен.

Что же на рис. 1 следует из $\neg B$? $A\oplus \neg A$ (исключающее "или").

Но одна импликация $\neg B\to (A\oplus \neg A)$ не заменяет двух импликаций $\neg B\to A$ и $\neg B\to \neg A$, которые обе заявлены в законе (и обе не выполняются).

[Импликация $\neg B\to (A\oplus \neg A)$ это не то же самое, что конъюнкция импликаций $(\neg B\to A)\wedge (\neg B\to \neg A)$.]

2.

tolstopuz в сообщении #1647804 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1647799 писал(а):

Так вот, как я понимаю, когда импликация $\neg B\to (A\oplus \neg A)$ рассматривается вместе с импликацией $B\to A$, она является ex falso quodlibet, а когда рассматривается без импликации $B\to A$, то нет.

Импликация $\neg B\to (A\oplus \neg A)$ является тождественной истиной. Вы хотите сказать, что истина предстает в разных обличьях в зависимости от того, что положили рядом с ней?

Истина $\neg B\to (A\oplus \neg A)$ всегда одна и та же, но ее можно рассматривать саму по себе, а можно -- как дополнение импликации $B\to A$ до пары $\big (B\to A, \; \; \neg B\to (A\oplus \neg A)\big)$.

[Импликация $B\to A$ бывает только в паре с импликацией $\neg B\to (A\oplus \neg A)$ (рис. 1), а импликация $\neg B\to (A\oplus \neg A)$ бывает и без импликации $B\to A$ (рис. 2).]


На остальные замечания попытаюсь ответить позже, там есть много, о чем подумать.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1647878 писал(а):

Под словами "что угодно" здесь понимается, конечно, не вообще все, что угодно

Именно что вообще всё, что угодно (любое утверждение).

Vladimir Pliassov в сообщении #1647878 писал(а):

Так вот, мне угодно, чтобы из $\neg B$ следовало $A$. Следует оно? Нет.

Ошибаетесь. Если $\neg B$ ложно, то из $\neg B$ следует $A$.

Видимо, Ваша ошибка получилась вот как. Вы заметили из какого-то своего рисунка, что $\overline{\mathsf B}\not\subset\mathsf A$. Итак, неверно, что $\forall x,\,x\notin \mathsf B\,\to\,x\in\mathsf A$. Это значит, что утверждение $x\notin \mathsf B\,\to\,x\in\mathsf A$ верно не для всех $x$. Но для каких-то $x$ оно вполне может быть верным. В том числе оно верно для $x=\lambda$, т.е. верно $\lambda\notin \mathsf B\,\to\,\lambda\in\mathsf A$ (именно в силу ex falso quodlibet); другими словами, верно $\neg B\to A$. Никаких противоречий здесь нет.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1647878 писал(а):

Значит, из $\neg B$ не следует ни $A$, ни $\neg A$. То есть закон не работает так, как он заявлен.

Закон работает именно потому, что он заявлен. Из $\neg B$ следует и $A$, и $\neg A$. Не пытайтесь сочинять альтернативную логику, ибо тут уже всё давно украдено до Вас, вряд ли Вы придумаете что-то новое.

Vladimir Pliassov в сообщении #1647878 писал(а):

[Импликация $\neg B\to (A\oplus \neg A)$ это не то же самое, что конъюнкция импликаций $(\neg B\to A)\wedge (\neg B\to \neg A)$.]

На самом деле импликация $\neg B\to (A \lor \neg A)$ это то же самое, что дизъюнкция импликаций $(\neg B \to A) \lor (\neg B \to \neg A)$. В классической логике это проверяется подстановкой всевозможных логических значений переменных.

Vladimir Pliassov в сообщении #1647878 писал(а):

[Импликация $B\to A$ бывает только в паре с импликацией $\neg B\to (A\oplus \neg A)$ (рис. 1), а импликация $\neg B\to (A\oplus \neg A)$ бывает и без импликации $B\to A$ (рис. 2).]

Вы продолжаете нести какую-то бессмыслицу. Импликации - это просто высказывания, а все высказывания "бывают" сами по себе. Никаких пар из них составлять не нужно.