ХРИН 05 Ускорение и вращение тел отсчёта

[Утундрий]

Это будет не вполне строгий параграф.

Мы применим развитую теорию к т. н. "твердотельно вращающейся" системе отсчёта, что позволит заменить абстрактные величины $\theta_i$ и $\zeta_{ik}$ несколько более физически прозрачными $\overline f_i$ и $\overline \omega_{ik}$.

Также мы коснёмся вопроса рационального выбора физических размерностей рассматриваемых объектов теории.

Двойные квадратные скобки $[[ \;]]$ здесь, и далее, будут означать взятие физической размерности заключённого в них выражения. Например, $[[\delta s]]=\text{сек}$.

§5 Ускорение и вращение тел отсчёта

Рассмотрим плоское пространство событий и запишем его интервал так, как его записывали до осознания того факта, что координаты сами по себе не обладают непосредственным геометрическим смыслом:

$$(c\;\delta s)^2=(c\;dt)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2 \eqno (5,1)$$

Здесь четыре величины $(t,x,y,z)$ по-прежнему маркируют события, но при этом являются размерными:

$$[[t]]=\text{сек},\;[[x]]=[[y]]=[[z]]=\text{м}$$

Об этих "м" и "сек" достаточно знать, что определялись они независимо друг от друга и поэтому в интервале присутствует переводная константа $c \approx 299792458\;\text{м/сек}$. (В актуальной версии СИ это значение уже считается точным).

С таким положением дел можно мириться, если держать в уме "временно́й характер" буквы $t$ и "пространственный характер" букв $x,\; y, \; z$.

Однако, совершим преобразование

$$\left\{ {\begin{array}{l} x = r\;\cos (\omega t+\varphi) \\ y = r\;\sin (\omega t+\varphi) \\ \end{array} } \right. \eqno (5,2)$$

где $\omega$ — положительная константа и $[[\omega]]=\text{сек}^{-1}$.

События теперь маркируются четвёркой $(t,r,\varphi,z)$. И если новая буква $r$ имеет уже знакомый нам "пространственный характер" , то с буквой $\varphi$ возникает неприятность, ибо $[[\varphi]]=1$. Для спасения ситуации приходится считать, что $\varphi$ имеет некий "угловой характер".

Чтобы не путаться во всех этих "характерах", в качестве координат будем использовать безразмерные числа, перенеся бремя размерности на компоненты метрического тензора: $[[g_{\mu \nu}]]=\text{сек}^2$.

В системе отсчёта, в которую нас перевели преобразования $(5,2)$, тела отсчёта равномерно вращаются вокруг оси $z$, вблизи которой скорости их движения малы. Так что мы можем попытаться установить соответствие введённых в предыдущих параграфах величин с объектами нерелятивистской кинематики. Но для этого их сперва нужно вычислить, к чему и переходим.

Подставляя $(5,2)$ в $(5,1)$, находим

$$(\delta s)^2=\left[1-\left(\frac{\omega r}{c}\right)^2\right](dt)^2-\dfrac {1}{c^2}\left[(dr)^2+(r\;d\varphi)^2+2\omega\; r^2 dt\;d\varphi + (dz)^2\right] \eqno (5,3)$$

Вводим безразмерные координаты

$$x^0\equiv\dfrac{t}{T},\quad x^1\equiv\dfrac{r}{c\;T},\quad x^2\equiv\varphi,\quad x^3\equiv\dfrac{z}{c\;T}$$

где $T$ — положительная константа и $[[T]]=\text{сек}$.

Компоненты метрики, соответствующие такому введению координат, имеют вид

$$g_{00} = T^2\left[1-(\omega T x^1)^2\right],\; g_{02} =-\omega T^3 (x^1)^2,\;g_{11}=g_{33} =-T^2,\; g_{22} = - (Tx^1)^2\\ \end{array} $$

Далее нам понадобятся величины $(1,3)$:

$$h=T\sqrt{1-(\omega T x^1)^2},\quad a_1=a_3=0,\quad a_2=\dfrac{\omega (T x^1)^2}{\sqrt{1-(\omega T x^1)^2}}$$

$${\overline g}_{11}={\overline g}_{33}=T^2,\quad {\overline g}_{22}=\dfrac{(T x^1)^2}{1-(\omega T x^1)^2}, \quad \sqrt{\overline g}=\dfrac{T^3 x^1}{\sqrt{1-(\omega T x^1)^2}}$$

И величины $(3,3)$:

$$\theta_1=-\dfrac{(\omega T)^2 x^1}{1-(\omega T x^1)^2},\quad \theta_2=\theta_3=0\eqno (5,4)$$

Также не помешают величины $(3,5)$:

$$\zeta_{12}=-\dfrac{2 \omega T^2 x^1}{\left[1-(\omega T x^1)^2\right]^{3/2}}, \quad \zeta_{13}=\zeta_{23}=0$$

Вдобавок, по формуле $(4,9)$ найдём дуальный к $\zeta_{ik}$ псевдо-хивектор $\overset{*}{\zeta}{}^i$ и приведём его ковариантные компоненты:

$$ \overset{*}{\zeta}{}_1=\overset{*}{\zeta}{}_2=0,\quad \overset{*}{\zeta}{}_3=-\dfrac{2\omega T}{1-(\omega T x^1)^2}\eqno (5,5)$$

Наконец, посчитаем хинварианты

$$ \sqrt{\theta^i \theta_i}=\dfrac{\omega^2 T x^1}{1-(\omega T x^1)^2}=\dfrac{\omega^2 r}{c} \left[1-\left(\dfrac{\omega r}{c}}\right)^2}\right]^{-1}$$

$$\sqrt{\overset{*}{\zeta}{}^i \overset{*}{\zeta}{}_i}=\dfrac{2\omega}{1-(\omega T x^1)^2}=2\omega \left[1-\left(\dfrac{\omega r}{c}}\right)^2}\right]^{-1}$$

и перейдём к интерпретации.

Даже одного беглого взгляда достаточно, чтобы установить пропорциональность хивектора $\theta_i$ силе инерции, а псевдо-хитензора $\overset{*}{\zeta}{}^i$ — псевдовектору угловой скорости вращения.

Поэтому мы можем ввести следующие "физические" величины:

$$\overset{\_} f{}_i \equiv - \theta_i, \quad \overset{*}{\omega}{}_i \equiv -\dfrac 1 2\; \overset{*}{\zeta}{}_i \eqno (5,6)$$

Знаки и коэффициенты здесь выбраны так, что $c\overset{\_} f{}_i$ есть хивектор "центробежного ускорения", а $\overset{*}{\omega}{}_i$ — псевдо-хивектор "угловой скорости вращения" тел отсчёта.

Выразим $(5,6)$ через величины $(1,3)$. Заметим, что $\overline{\omega}_{ik}=-\dfrac 1 2\; \zeta_{ik}$, поскольку дуальные объекты связаны линейным преобразованием. Следовательно

$$\overset{\_} f{}_i \equiv - \dfrac 1 h \left( h_{,i}+a_{i,0} \right) ,\qquad \overline{\omega}_{ik}\equiv-\dfrac 1 2 \left( a_{i,k} - a_{k,i} + a_i \overset{\_} f{}_k - a_k \overset{\_} f{}_i \right) \eqno (5,7)$$

И напоследок зафиксируем обозначения для их модулей:

$$\overset{\_} f \equiv \sqrt{\overset{\_}f{}^i \overset{\_}f{}_i }, \qquad \overline \omega \equiv \sqrt{\overset{*}{\omega}{}^i \overset{*}{\omega}{}_i}=\sqrt{\dfrac 1 2 \;\overline{\omega}^{ik}\overline{\omega}_{ik}}\eqno (5,8)$$

Заметим, что в нашем примере компоненты $(5,4)$ и $(5,5)$ с нижними индексами оказались безразмерными. В действительности, это всегда так:

$$[[\overset{\_} f{}_i]]=[[\overset{*}{\omega}{}_i]]=1 \eqno (5,9)$$

Задача

В пространстве событий с интервалом $(5,1)$ введите систему отсчёта при помощи подстановки

$$t=T x^0, \quad x=c\;T \left[x^1+u(x^0)\right], \quad y = c\; T x^2, \quad z = c\; T x^3$$

и вычислите для неё величины $(5,7)$ и $(5,8)$.

1) Среди всех функций $u(x^0)$, удовлетворяющих условиям $\ddot u>0, \; u(0)=\dot u(0)=0$, найдите такую, что ускорение тел отсчёта $a\equiv c \overset{\_} f$ будет постоянным.

2) Зная $u(x^0)$ , запишите уравнение мировой линии $x^i=0$ в форме $x=x(t)$.

[Утундрий]

Дополнительное упражнение: найдите в тексте оговорку.

[Cos(x-pi/2)]

Утундрий в сообщении #1647633 писал(а):

Дополнительное упражнение: найдите в тексте оговорку.

Может быть, лучше бы подошли слова типа таких: "тела отсчёта, покоящиеся в системе координат $(t,r,\varphi,z),$ в исходной системе $(t,x,y,z)$ равномерно вращаются" (далее по тексту).

(ответ к задаче; не знаю, правильный ли)

Для квадрата интервала $(\delta s)^2=g_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$ с указанными в задаче новыми координатами $x^{\mu}$ отличны от нуля лишь следующие компоненты метрического тензора:

$$g_{00}=T^2(1-\dot{u}^2)\,, \quad g_{01}=g_{10}=-T^2\dot{u}\,,\quad g_{11}=g_{22}=g_{33}=-T^2\,. $$

Поэтому:

$$a_1=\frac{T\dot{u}}{\sqrt{1-\dot{u}^2}}\,,\quad a_2=a_3=0\,. $$

Матрица $\overline{g}_{ik}$ получается диагональной, в ней:

$$\overline{g}_{11}=\frac{T^2}{1-\dot{u}^2}\,,\quad \overline{g}_{22}=\overline{g}_{33}=T^2\,. $$

Следовательно, обратная матрица (т.е. $\overline{g}^{ik})$ тоже диагональна, её диагональные элементы обратны указанным выше диагональным элементам. Величины $(3,3):$

$$\theta_1=\frac{\ddot{u}}{(1-\dot{u}^2)^2}\,,\quad \theta_2=\theta_3=0\,. $$

Отличные от нуля величины $\overline{f}_i$ и $\overline{f}^{\,i}$ это:

$$\overline{f}_1=-\theta_1\,,\quad \overline{f}^1=-\,\frac{\theta_1}{\overline{g}_{11}}\,.$$

Поэтому:

$$(\overline{f})^2=\overline{f}_i\overline{f}^{\,i}=\frac{(\theta_1)^2}{\overline{g}_{11}}=\frac{1}{T^2}\,\frac{\ddot{u}^2}{(1-\dot{u}^2)^3}\,. $$

Величины $\overline{\omega}_{ik},$ $\overline{\omega}$ равны нулю.

Условие постоянства для $\overline{f}$ имеет вид уравнения для функции $u(x^0):$

$$\frac{\ddot{u}}{(1-\dot{u}^2)^{3/2}} = \operatorname{const}\,. $$

Как по-честному решать такое уравнение, я не знаю; просто угадал некое решение:

$$u(x^0)=\sqrt{A+B\,(x^0)^2}\,+\,C\,, $$

где $A,B,C$ - безразмерные постоянные. В этом случае:

$$\dot{u}=\frac{B\,x^0}{\sqrt{A+B\,(x^0)^2}}\,, \quad \ddot{u} = \frac{B\,A}{[A+B\,(x^0)^2]^{3/2}}\,, \quad \overline{f} = \frac{B}{T\,\sqrt{A}}\,. $$

Для того чтобы выполнялись указанные в задаче условия для функции $u(x^0),$ полагаю $C=-\sqrt{A},$ и считаю, что постоянные $A$ и $B$ -- положительные.

Для мировой линии $x^i=0,$ с учётом того, что $x^0=t/T,$ $x=cT(x^i+u(x^0)),$ $y=0,$ $z=0,$ получилась следующая формула движения тела по оси $x$:

$$x(t)=cT\left( \sqrt{A+B\,(t/T)^2}\,-\,\sqrt{A}\right)\,. $$

Если выражать этот ответ через указанную в задаче постоянную с размерностью ускорения $a=c\overline{f},$ то можем выбрать $B=1,$ $A=c^2T^{-2}a^{-2},$ и тогда:

$$x(t)=\sqrt{\left( \frac{c^2}{a}\right)^2 + (ct)^2}\,\,-\,\,\frac{c^2}{a} $$

(т.е. получилась знакомая из литературы картина прямолинейного движения "с постоянным ускорением"; если я нигде не наошибался).

[Утундрий]

Невозможно быть последовательным, когда само понятие скорости относительного движения вводится (по задумке) позже. Можно было ввести эти два минуса и одну одну вторую сразу при определении, а потом заметить на примере, что "Надо же, как всё ладненько получилось и по модулю и по направлению!" Но решил этого не делать и попытаться хоть как-то обосновать.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1647663 писал(а):

$$\frac{\ddot{u}}{(1-\dot{u}^2)^{3/2}} = \operatorname{const}\,. $$

Как по-честному решать такое уравнение, я не знаю;

Подстановкой $\dot u=F( u)$.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1647663 писал(а):

получилась знакомая из литературы картина прямолинейного движения "с постоянным ускорением"

Ну да, ради этого задача и ставилась.

[Cos(x-pi/2)]

Утундрий, а про какие минусы и одну вторую речь? В формулах $(5,6)?$

[Утундрий]

Да.

[Cos(x-pi/2)]

Спасибо. Задача понравилась (хоть и мало смыслю в этом)).

[Утундрий]

Ну что же, дальше будет меньше размахиваний руками и больше математики. То есть, и быстрее и проще.

[Cos(x-pi/2)]

P.S. Поправка к моему "ответу к задаче": у меня угаданное решение $u(x^0)$ написано всё-таки с ошибкой; для исправления ошибки надо в написанной там формуле для $u(x^0)$ сразу подставить $B=1,$ и в дальнейших формулах тоже.

[amon]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1647673 писал(а):

Ну что же, дальше будет меньше размахиваний руками и больше математики.

А мне это рукомахательство понравилось. Стало чуть понятнее, зачем все эти навороты в Саратовском зоопарке (С). Чуть было на задачку не ответил.

[drzewo]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1647322 писал(а):

ХРИН

не могу отделаться от ощущения, что в слове опечатка
Вероятно, сокращенье.