Это будет не вполне строгий параграф.
Мы применим развитую теорию к т. н. "твердотельно вращающейся" системе отсчёта, что позволит заменить абстрактные величины
![$\theta_i$ $\theta_i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/6/f166369f3ef0a7ff052f1e9bbf57d2e282.png)
и
![$\zeta_{ik}$ $\zeta_{ik}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/8/1b84c2a6aee9f20bb6eedfb668c681a082.png)
несколько более физически прозрачными
![$\overline f_i$ $\overline f_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/e/5de3c6cfb33237578f8bd5b427747fe182.png)
и
![$\overline \omega_{ik}$ $\overline \omega_{ik}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/b/9eb5bb8e2fc8638ab3a0800e715c422782.png)
.
Также мы коснёмся вопроса рационального выбора физических размерностей рассматриваемых объектов теории.
Двойные квадратные скобки
![$[[ \;]]$ $[[ \;]]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/7/f67d24b9c5f9770231b4d0d85934404b82.png)
здесь, и далее, будут означать взятие физической размерности заключённого в них выражения. Например,
![$[[\delta s]]=\text{сек}$ $[[\delta s]]=\text{сек}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/3/06399cb75a860e217cdc327a7495812a82.png)
.
§5 Ускорение и вращение тел отсчётаРассмотрим плоское пространство событий и запишем его интервал так, как его записывали до осознания того факта, что координаты сами по себе не обладают непосредственным геометрическим смыслом:
![$$(c\;\delta s)^2=(c\;dt)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2 \eqno (5,1)$$ $$(c\;\delta s)^2=(c\;dt)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2 \eqno (5,1)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/b/11b3d875b607f30c0958731e4a819d5582.png)
Здесь четыре величины
![$(t,x,y,z)$ $(t,x,y,z)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/f/ddf0356d4632eab5d57ec29786a9547582.png)
по-прежнему маркируют события, но при этом являются размерными:
![$$[[t]]=\text{сек},\;[[x]]=[[y]]=[[z]]=\text{м}$$ $$[[t]]=\text{сек},\;[[x]]=[[y]]=[[z]]=\text{м}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/c/0ece7fcf0874c8fe6786a21847ee73e682.png)
Об этих "м" и "сек" достаточно знать, что определялись они независимо друг от друга и поэтому в интервале присутствует переводная константа
![$c \approx 299792458\;\text{м/сек}$ $c \approx 299792458\;\text{м/сек}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/1/2f1aacee31fa12c44b941d6f11857b5382.png)
. (В актуальной версии СИ это значение уже считается точным).
С таким положением дел можно мириться, если держать в уме "временно́й характер" буквы
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
и "пространственный характер" букв
![$x,\; y, \; z$ $x,\; y, \; z$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/c/9bc9521eb565149080543a993e65e04b82.png)
.
Однако, совершим преобразование
![$$\left\{ {\begin{array}{l}
x = r\;\cos (\omega t+\varphi) \\
y = r\;\sin (\omega t+\varphi) \\
\end{array} } \right. \eqno (5,2)$$ $$\left\{ {\begin{array}{l}
x = r\;\cos (\omega t+\varphi) \\
y = r\;\sin (\omega t+\varphi) \\
\end{array} } \right. \eqno (5,2)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/a/13ad0520f99e18f9bac4b86bb6dbbea482.png)
где
![$\omega$ $\omega$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/4/ae4fb5973f393577570881fc24fc205482.png)
— положительная константа и
![$[[\omega]]=\text{сек}^{-1}$ $[[\omega]]=\text{сек}^{-1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/a/c4a81c98ec56a9e14169eab4eb05bc4382.png)
.
События теперь маркируются четвёркой
![$(t,r,\varphi,z)$ $(t,r,\varphi,z)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/8/218545eb3598dbed13e9b795bab7c32782.png)
. И если новая буква
![$r$ $r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/f/89f2e0d2d24bcf44db73aab8fc03252c82.png)
имеет уже знакомый нам "пространственный характер" , то с буквой
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
возникает неприятность, ибо
![$[[\varphi]]=1$ $[[\varphi]]=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/2/05241c23d3511ce14d057cbbdc69a5da82.png)
. Для спасения ситуации приходится считать, что
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
имеет некий "угловой характер".
Чтобы не путаться во всех этих "характерах", в качестве координат будем использовать безразмерные числа, перенеся бремя размерности на компоненты метрического тензора:
![$[[g_{\mu \nu}]]=\text{сек}^2$ $[[g_{\mu \nu}]]=\text{сек}^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/1/82123abdf44b14c20f9405034f4b86e282.png)
.
В системе отсчёта, в которую нас перевели преобразования
![$(5,2)$ $(5,2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/e/8beff101c20bb42a0dd388131b048d1a82.png)
, тела отсчёта равномерно вращаются вокруг оси
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
, вблизи которой скорости их движения малы. Так что мы можем попытаться установить соответствие введённых в предыдущих параграфах величин с объектами нерелятивистской кинематики. Но для этого их сперва нужно вычислить, к чему и переходим.
Подставляя
![$(5,2)$ $(5,2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/e/8beff101c20bb42a0dd388131b048d1a82.png)
в
![$(5,1)$ $(5,1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/7/1a7f7af86f95b225408e93a3a20ac30482.png)
, находим
![$$(\delta s)^2=\left[1-\left(\frac{\omega r}{c}\right)^2\right](dt)^2-\dfrac {1}{c^2}\left[(dr)^2+(r\;d\varphi)^2+2\omega\; r^2 dt\;d\varphi + (dz)^2\right] \eqno (5,3)$$ $$(\delta s)^2=\left[1-\left(\frac{\omega r}{c}\right)^2\right](dt)^2-\dfrac {1}{c^2}\left[(dr)^2+(r\;d\varphi)^2+2\omega\; r^2 dt\;d\varphi + (dz)^2\right] \eqno (5,3)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/c/00c9aef4feb78f5050c61d82049a34a882.png)
Вводим безразмерные координаты
![$$x^0\equiv\dfrac{t}{T},\quad x^1\equiv\dfrac{r}{c\;T},\quad x^2\equiv\varphi,\quad x^3\equiv\dfrac{z}{c\;T}$$ $$x^0\equiv\dfrac{t}{T},\quad x^1\equiv\dfrac{r}{c\;T},\quad x^2\equiv\varphi,\quad x^3\equiv\dfrac{z}{c\;T}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/2/b8223f468f10914350066c4046fc314482.png)
где
![$T$ $T$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/1/2f118ee06d05f3c2d98361d9c30e38ce82.png)
— положительная константа и
![$[[T]]=\text{сек}$ $[[T]]=\text{сек}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/e/67ee7eb6b00b06ffc8d6c554ea54a73482.png)
.
Компоненты метрики, соответствующие такому введению координат, имеют вид
![$$g_{00} = T^2\left[1-(\omega T x^1)^2\right],\; g_{02} =-\omega T^3 (x^1)^2,\;g_{11}=g_{33} =-T^2,\; g_{22} = - (Tx^1)^2\\
\end{array} $$ $$g_{00} = T^2\left[1-(\omega T x^1)^2\right],\; g_{02} =-\omega T^3 (x^1)^2,\;g_{11}=g_{33} =-T^2,\; g_{22} = - (Tx^1)^2\\
\end{array} $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/5/155792927e4e00b1f2ce08f008a130bc82.png)
Далее нам понадобятся величины
![$(1,3)$ $(1,3)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/5/7757d22c16a4790082478e8bede5a72282.png)
:
![$$h=T\sqrt{1-(\omega T x^1)^2},\quad a_1=a_3=0,\quad a_2=\dfrac{\omega (T x^1)^2}{\sqrt{1-(\omega T x^1)^2}}$$ $$h=T\sqrt{1-(\omega T x^1)^2},\quad a_1=a_3=0,\quad a_2=\dfrac{\omega (T x^1)^2}{\sqrt{1-(\omega T x^1)^2}}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/1/041b184288476d5b577316ca2a6315ab82.png)
![$${\overline g}_{11}={\overline g}_{33}=T^2,\quad {\overline g}_{22}=\dfrac{(T x^1)^2}{1-(\omega T x^1)^2}, \quad \sqrt{\overline g}=\dfrac{T^3 x^1}{\sqrt{1-(\omega T x^1)^2}}$$ $${\overline g}_{11}={\overline g}_{33}=T^2,\quad {\overline g}_{22}=\dfrac{(T x^1)^2}{1-(\omega T x^1)^2}, \quad \sqrt{\overline g}=\dfrac{T^3 x^1}{\sqrt{1-(\omega T x^1)^2}}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/1/3a1a2dc8a61f263c47712a8ab140896e82.png)
И величины
![$(3,3)$ $(3,3)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/1/f017eae7df0c61758b7289aa649671de82.png)
:
![$$\theta_1=-\dfrac{(\omega T)^2 x^1}{1-(\omega T x^1)^2},\quad \theta_2=\theta_3=0\eqno (5,4)$$ $$\theta_1=-\dfrac{(\omega T)^2 x^1}{1-(\omega T x^1)^2},\quad \theta_2=\theta_3=0\eqno (5,4)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/4/184a6f2b6cf1d3dfb21a90172718a1e382.png)
Также не помешают величины
![$(3,5)$ $(3,5)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/9/5c9b176cae18d7fcfca29da7fdf12c4f82.png)
:
![$$\zeta_{12}=-\dfrac{2 \omega T^2 x^1}{\left[1-(\omega T x^1)^2\right]^{3/2}}, \quad \zeta_{13}=\zeta_{23}=0$$ $$\zeta_{12}=-\dfrac{2 \omega T^2 x^1}{\left[1-(\omega T x^1)^2\right]^{3/2}}, \quad \zeta_{13}=\zeta_{23}=0$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/9/189bf67e762e067bc69099f6c631642382.png)
Вдобавок, по формуле
![$(4,9)$ $(4,9)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/c/e7c2d056a25f650e649ae686b23838eb82.png)
найдём дуальный к
![$\zeta_{ik}$ $\zeta_{ik}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/8/1b84c2a6aee9f20bb6eedfb668c681a082.png)
псевдо-хивектор
![$\overset{*}{\zeta}{}^i$ $\overset{*}{\zeta}{}^i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/c/05c4dd0a111876af8e827f4e556d793782.png)
и приведём его ковариантные компоненты:
![$$ \overset{*}{\zeta}{}_1=\overset{*}{\zeta}{}_2=0,\quad
\overset{*}{\zeta}{}_3=-\dfrac{2\omega T}{1-(\omega T x^1)^2}\eqno (5,5)$$ $$ \overset{*}{\zeta}{}_1=\overset{*}{\zeta}{}_2=0,\quad
\overset{*}{\zeta}{}_3=-\dfrac{2\omega T}{1-(\omega T x^1)^2}\eqno (5,5)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/1/dd1590dcbcaa14859dfb55e8faddfcf282.png)
Наконец, посчитаем хинварианты
![$$ \sqrt{\theta^i \theta_i}=\dfrac{\omega^2 T x^1}{1-(\omega T x^1)^2}=\dfrac{\omega^2 r}{c}
\left[1-\left(\dfrac{\omega r}{c}}\right)^2}\right]^{-1}$$ $$ \sqrt{\theta^i \theta_i}=\dfrac{\omega^2 T x^1}{1-(\omega T x^1)^2}=\dfrac{\omega^2 r}{c}
\left[1-\left(\dfrac{\omega r}{c}}\right)^2}\right]^{-1}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/5/bc5dd3f22e23d7b3692cfcf896fa014d82.png)
![$$\sqrt{\overset{*}{\zeta}{}^i \overset{*}{\zeta}{}_i}=\dfrac{2\omega}{1-(\omega T x^1)^2}=2\omega \left[1-\left(\dfrac{\omega r}{c}}\right)^2}\right]^{-1}$$ $$\sqrt{\overset{*}{\zeta}{}^i \overset{*}{\zeta}{}_i}=\dfrac{2\omega}{1-(\omega T x^1)^2}=2\omega \left[1-\left(\dfrac{\omega r}{c}}\right)^2}\right]^{-1}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/0/d50f104f567c802e66c7ef6f14fdf71c82.png)
и перейдём к интерпретации.
Даже одного беглого взгляда достаточно, чтобы установить пропорциональность хивектора
![$\theta_i$ $\theta_i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/6/f166369f3ef0a7ff052f1e9bbf57d2e282.png)
силе инерции, а псевдо-хитензора
![$\overset{*}{\zeta}{}^i$ $\overset{*}{\zeta}{}^i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/c/05c4dd0a111876af8e827f4e556d793782.png)
— псевдовектору угловой скорости вращения.
Поэтому мы можем ввести следующие "физические" величины:
![$$\overset{\_} f{}_i \equiv - \theta_i, \quad \overset{*}{\omega}{}_i \equiv -\dfrac 1 2\; \overset{*}{\zeta}{}_i \eqno (5,6)$$ $$\overset{\_} f{}_i \equiv - \theta_i, \quad \overset{*}{\omega}{}_i \equiv -\dfrac 1 2\; \overset{*}{\zeta}{}_i \eqno (5,6)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/3/8f37c5d08d75bd51c62989092a4e606c82.png)
Знаки и коэффициенты здесь выбраны так, что
![$c\overset{\_} f{}_i$ $c\overset{\_} f{}_i$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/5/a459659adf210da3f7f9f48afab6aa0382.png)
есть хивектор "центробежного ускорения", а
![$\overset{*}{\omega}{}_i$ $\overset{*}{\omega}{}_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/2/022abf529c6c4beabd50a22af8f9ffd682.png)
— псевдо-хивектор "угловой скорости вращения" тел отсчёта.
Выразим
![$(5,6)$ $(5,6)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/f/bcf12dbd8a1d871862932fdd9909c29682.png)
через величины
![$(1,3)$ $(1,3)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/5/7757d22c16a4790082478e8bede5a72282.png)
. Заметим, что
![$\overline{\omega}_{ik}=-\dfrac 1 2\; \zeta_{ik}$ $\overline{\omega}_{ik}=-\dfrac 1 2\; \zeta_{ik}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/2/cb20b97b46ac783a9d6118dbd70fd42e82.png)
, поскольку дуальные объекты связаны линейным преобразованием. Следовательно
![$$\overset{\_} f{}_i \equiv - \dfrac 1 h \left( h_{,i}+a_{i,0} \right) ,\qquad \overline{\omega}_{ik}\equiv-\dfrac 1 2 \left( a_{i,k} - a_{k,i} + a_i \overset{\_} f{}_k - a_k \overset{\_} f{}_i \right) \eqno (5,7)$$ $$\overset{\_} f{}_i \equiv - \dfrac 1 h \left( h_{,i}+a_{i,0} \right) ,\qquad \overline{\omega}_{ik}\equiv-\dfrac 1 2 \left( a_{i,k} - a_{k,i} + a_i \overset{\_} f{}_k - a_k \overset{\_} f{}_i \right) \eqno (5,7)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/4/b4478c9303263ef8f046bed30b5e52d982.png)
И напоследок зафиксируем обозначения для их модулей:
![$$\overset{\_} f \equiv \sqrt{\overset{\_}f{}^i \overset{\_}f{}_i }, \qquad \overline \omega \equiv \sqrt{\overset{*}{\omega}{}^i \overset{*}{\omega}{}_i}=\sqrt{\dfrac 1 2 \;\overline{\omega}^{ik}\overline{\omega}_{ik}}\eqno (5,8)$$ $$\overset{\_} f \equiv \sqrt{\overset{\_}f{}^i \overset{\_}f{}_i }, \qquad \overline \omega \equiv \sqrt{\overset{*}{\omega}{}^i \overset{*}{\omega}{}_i}=\sqrt{\dfrac 1 2 \;\overline{\omega}^{ik}\overline{\omega}_{ik}}\eqno (5,8)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/9/a699a79f8611a932825159612c91550982.png)
Заметим, что в нашем примере компоненты
![$(5,4)$ $(5,4)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/2/e42da8681fbc6fa4d8609b901e08eb1982.png)
и
![$(5,5)$ $(5,5)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/4/f74eafdcb8db25fc12e6b8da3c76a21f82.png)
с нижними индексами оказались безразмерными. В действительности, это всегда так:
ЗадачаВ пространстве событий с интервалом
![$(5,1)$ $(5,1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/7/1a7f7af86f95b225408e93a3a20ac30482.png)
введите систему отсчёта при помощи подстановки
![$$t=T x^0, \quad x=c\;T \left[x^1+u(x^0)\right], \quad y = c\; T x^2, \quad z = c\; T x^3$$ $$t=T x^0, \quad x=c\;T \left[x^1+u(x^0)\right], \quad y = c\; T x^2, \quad z = c\; T x^3$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/b/82bed41c0da9886d4d2756b4b7afb5cb82.png)
и вычислите для неё величины
![$(5,7)$ $(5,7)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/1/a615d555b8e29539b556ec4c8c1c44cc82.png)
и
![$(5,8)$ $(5,8)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/1/491532614b64c56916a071bc890feaf782.png)
.
1) Среди всех функций
![$u(x^0)$ $u(x^0)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/2/7c2107006d263cdc9c6ed5975c4da02582.png)
, удовлетворяющих условиям
![$\ddot u>0, \; u(0)=\dot u(0)=0$ $\ddot u>0, \; u(0)=\dot u(0)=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/5/355b9ed84ed569d40d1b04302924c3dc82.png)
, найдите такую, что ускорение тел отсчёта
![$a\equiv c \overset{\_} f$ $a\equiv c \overset{\_} f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/9/9a9f1b469b95460f7e99d2ac1326feab82.png)
будет постоянным.
2) Зная
![$u(x^0)$ $u(x^0)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/2/7c2107006d263cdc9c6ed5975c4da02582.png)
, запишите уравнение мировой линии
![$x^i=0$ $x^i=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/5/ed572d025099c1514afc0f013ecce2e682.png)
в форме
![$x=x(t)$ $x=x(t)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/f/5ef6a7263760e4096fc413d70b26c70982.png)
.