Это будет не вполне строгий параграф.
Мы применим развитую теорию к т. н. "твердотельно вращающейся" системе отсчёта, что позволит заменить абстрактные величины

и

несколько более физически прозрачными

и

.
Также мы коснёмся вопроса рационального выбора физических размерностей рассматриваемых объектов теории.
Двойные квадратные скобки
![$[[ \;]]$ $[[ \;]]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/7/f67d24b9c5f9770231b4d0d85934404b82.png)
здесь, и далее, будут означать взятие физической размерности заключённого в них выражения. Например,
![$[[\delta s]]=\text{сек}$ $[[\delta s]]=\text{сек}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/3/06399cb75a860e217cdc327a7495812a82.png)
.
§5 Ускорение и вращение тел отсчётаРассмотрим плоское пространство событий и запишем его интервал так, как его записывали до осознания того факта, что координаты сами по себе не обладают непосредственным геометрическим смыслом:

Здесь четыре величины

по-прежнему маркируют события, но при этом являются размерными:
![$$[[t]]=\text{сек},\;[[x]]=[[y]]=[[z]]=\text{м}$$ $$[[t]]=\text{сек},\;[[x]]=[[y]]=[[z]]=\text{м}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/c/0ece7fcf0874c8fe6786a21847ee73e682.png)
Об этих "м" и "сек" достаточно знать, что определялись они независимо друг от друга и поэтому в интервале присутствует переводная константа

. (В актуальной версии СИ это значение уже считается точным).
С таким положением дел можно мириться, если держать в уме "временно́й характер" буквы

и "пространственный характер" букв

.
Однако, совершим преобразование

где

— положительная константа и
![$[[\omega]]=\text{сек}^{-1}$ $[[\omega]]=\text{сек}^{-1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/a/c4a81c98ec56a9e14169eab4eb05bc4382.png)
.
События теперь маркируются четвёркой

. И если новая буква

имеет уже знакомый нам "пространственный характер" , то с буквой

возникает неприятность, ибо
![$[[\varphi]]=1$ $[[\varphi]]=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/2/05241c23d3511ce14d057cbbdc69a5da82.png)
. Для спасения ситуации приходится считать, что

имеет некий "угловой характер".
Чтобы не путаться во всех этих "характерах", в качестве координат будем использовать безразмерные числа, перенеся бремя размерности на компоненты метрического тензора:
![$[[g_{\mu \nu}]]=\text{сек}^2$ $[[g_{\mu \nu}]]=\text{сек}^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/1/82123abdf44b14c20f9405034f4b86e282.png)
.
В системе отсчёта, в которую нас перевели преобразования

, тела отсчёта равномерно вращаются вокруг оси

, вблизи которой скорости их движения малы. Так что мы можем попытаться установить соответствие введённых в предыдущих параграфах величин с объектами нерелятивистской кинематики. Но для этого их сперва нужно вычислить, к чему и переходим.
Подставляя

в

, находим
^2-\dfrac {1}{c^2}\left[(dr)^2+(r\;d\varphi)^2+2\omega\; r^2 dt\;d\varphi + (dz)^2\right] \eqno (5,3)$$ $$(\delta s)^2=\left[1-\left(\frac{\omega r}{c}\right)^2\right](dt)^2-\dfrac {1}{c^2}\left[(dr)^2+(r\;d\varphi)^2+2\omega\; r^2 dt\;d\varphi + (dz)^2\right] \eqno (5,3)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/c/00c9aef4feb78f5050c61d82049a34a882.png)
Вводим безразмерные координаты

где

— положительная константа и
![$[[T]]=\text{сек}$ $[[T]]=\text{сек}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/e/67ee7eb6b00b06ffc8d6c554ea54a73482.png)
.
Компоненты метрики, соответствующие такому введению координат, имеют вид
![$$g_{00} = T^2\left[1-(\omega T x^1)^2\right],\; g_{02} =-\omega T^3 (x^1)^2,\;g_{11}=g_{33} =-T^2,\; g_{22} = - (Tx^1)^2\\
\end{array} $$ $$g_{00} = T^2\left[1-(\omega T x^1)^2\right],\; g_{02} =-\omega T^3 (x^1)^2,\;g_{11}=g_{33} =-T^2,\; g_{22} = - (Tx^1)^2\\
\end{array} $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/5/155792927e4e00b1f2ce08f008a130bc82.png)
Далее нам понадобятся величины

:


И величины

:

Также не помешают величины

:
![$$\zeta_{12}=-\dfrac{2 \omega T^2 x^1}{\left[1-(\omega T x^1)^2\right]^{3/2}}, \quad \zeta_{13}=\zeta_{23}=0$$ $$\zeta_{12}=-\dfrac{2 \omega T^2 x^1}{\left[1-(\omega T x^1)^2\right]^{3/2}}, \quad \zeta_{13}=\zeta_{23}=0$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/9/189bf67e762e067bc69099f6c631642382.png)
Вдобавок, по формуле

найдём дуальный к

псевдо-хивектор

и приведём его ковариантные компоненты:

Наконец, посчитаем хинварианты
![$$ \sqrt{\theta^i \theta_i}=\dfrac{\omega^2 T x^1}{1-(\omega T x^1)^2}=\dfrac{\omega^2 r}{c}
\left[1-\left(\dfrac{\omega r}{c}}\right)^2}\right]^{-1}$$ $$ \sqrt{\theta^i \theta_i}=\dfrac{\omega^2 T x^1}{1-(\omega T x^1)^2}=\dfrac{\omega^2 r}{c}
\left[1-\left(\dfrac{\omega r}{c}}\right)^2}\right]^{-1}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/5/bc5dd3f22e23d7b3692cfcf896fa014d82.png)
![$$\sqrt{\overset{*}{\zeta}{}^i \overset{*}{\zeta}{}_i}=\dfrac{2\omega}{1-(\omega T x^1)^2}=2\omega \left[1-\left(\dfrac{\omega r}{c}}\right)^2}\right]^{-1}$$ $$\sqrt{\overset{*}{\zeta}{}^i \overset{*}{\zeta}{}_i}=\dfrac{2\omega}{1-(\omega T x^1)^2}=2\omega \left[1-\left(\dfrac{\omega r}{c}}\right)^2}\right]^{-1}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/0/d50f104f567c802e66c7ef6f14fdf71c82.png)
и перейдём к интерпретации.
Даже одного беглого взгляда достаточно, чтобы установить пропорциональность хивектора

силе инерции, а псевдо-хитензора

— псевдовектору угловой скорости вращения.
Поэтому мы можем ввести следующие "физические" величины:

Знаки и коэффициенты здесь выбраны так, что

есть хивектор "центробежного ускорения", а

— псевдо-хивектор "угловой скорости вращения" тел отсчёта.
Выразим

через величины

. Заметим, что

, поскольку дуальные объекты связаны линейным преобразованием. Следовательно

И напоследок зафиксируем обозначения для их модулей:

Заметим, что в нашем примере компоненты

и

с нижними индексами оказались безразмерными. В действительности, это всегда так:
ЗадачаВ пространстве событий с интервалом

введите систему отсчёта при помощи подстановки
![$$t=T x^0, \quad x=c\;T \left[x^1+u(x^0)\right], \quad y = c\; T x^2, \quad z = c\; T x^3$$ $$t=T x^0, \quad x=c\;T \left[x^1+u(x^0)\right], \quad y = c\; T x^2, \quad z = c\; T x^3$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/b/82bed41c0da9886d4d2756b4b7afb5cb82.png)
и вычислите для неё величины

и

.
1) Среди всех функций

, удовлетворяющих условиям

, найдите такую, что ускорение тел отсчёта

будет постоянным.
2) Зная

, запишите уравнение мировой линии

в форме

.