2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Почему так не раскладывают на простейшие дроби?
Сообщение28.07.2024, 00:30 


02/01/19
10
Вот есть у нас есть рациональная дробь $f(x)=\dfrac{P_m(x)}{Q_n(x)}$. Рассмотрим случай, когда $m<n$ и многочлен $Q_n(x)$ имеет $n$ действительных, но различных корней. В таком случае можно сказать, что $\dfrac{P_m(x)}{Q_n(x)}=\displaystyle\sum_{i=0}^n\;\dfrac{A_i}{x-x_i}$

Но ведь мы может обе части этого равенства домножить на $(x-x_i)$, тогда получаем $(x-x_i)f(x)=(x-x_i)\cdot \displaystyle\sum_{i=0}^n\;\dfrac{A_i}{x-x_i}$. А отсюда сразу следует, что при $x\to x_i$ мы получаем формулу для определения коэффициентов. Это правда? Можно ли обобщить?

$A_i=\displaystyle\lim_{x\to x_i} (x-x_i)f(x)$

$A_i=\displaystyle\lim_{x\to x_i} (x-x_i)\cdot \dfrac{P_m(x)}{Q_n(x)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему так не раскладывают на простейшие дроби?
Сообщение28.07.2024, 00:36 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Мне не нравится, что у вас $i$ одновременно и свободная переменная, и индекс в сумме. По идее, это как раз стандартный способ получить $A_i$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему так не раскладывают на простейшие дроби?
Сообщение28.07.2024, 00:49 


02/01/19
10
dgwuqtj в сообщении #1647595 писал(а):
Мне не нравится, что у вас $i$ одновременно и свободная переменная, и индекс в сумме. По идее, это как раз стандартный способ получить $A_i$.

Спасибо. Хорошо, тогда заменим $i$ на $k$

$A_k=\displaystyle\lim_{x\to x_k} (x-x_k)f(x)$

$A_k=\displaystyle\lim_{x\to x_k} (x-x_k)\cdot \dfrac{P_m(x)}{Q_n(x)}$

Но если есть кратные или комплексные корни -- это обобщается? Просто я до этого знал только метод неопределенных коэффициентов и просто идею, заключающующуюся в том, чтобы обе части равенства $\dfrac{P_m(x)}{Q_n(x)}=\displaystyle\sum_{i=0}^n\;\dfrac{A_i}{x-x_i}$ домножить на $Q_n(x)$ и далее подставить в полученное равенство $n$ различных удобных значений переменной $x$, получив систему из $n$ уравнений с $n$ неизвестными, имеющую единственное решение. Или комбинацию этих методов. А вот отдельную формулу для коэффициентов не встречал ранее. Может быть я какую-то не ту литературу читал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему так не раскладывают на простейшие дроби?
Сообщение28.07.2024, 02:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
integ в сообщении #1647596 писал(а):
Но если есть кратные или комплексные корни -- это обобщается?
Для простых комплексных корней это обобщается напрямую. Если $x_k$ корень кратности $r$, то коэффициент при $(x-x_k)^{-r}$ вычисляется как предел $(x-x_k)^rf(x)$. Формулы для других коэффициентов сложнее и практически удобнее посчитать указанные коэффициенты по формулам, а все остальные--методом неопределенных коэффициентов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему так не раскладывают на простейшие дроби?
Сообщение28.07.2024, 10:54 
Заслуженный участник


16/02/13
4179
Владивосток
integ в сообщении #1647596 писал(а):
если есть кратные
В принципе, можно и производных побрать (кроме коэффициента, указанного Red_Herring). Но это может оказаться муторнее метода неопределённых коэффициентов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему так не раскладывают на простейшие дроби?
Сообщение28.07.2024, 18:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Метод кажется работоспособным, но непрактичным. Поскольку в методе неопределённых коэффициентов получаем сразу все, а тут надо повторять процедуру для каждого слагаемого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему так не раскладывают на простейшие дроби?
Сообщение28.07.2024, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Евгений Машеров в сообщении #1647655 писал(а):
Метод кажется работоспособным, но непрактичным.
Вам метод кажется практичным, но те, кто учил студентов, знают что он гораздо практичнее метода неопределенных коэффициентов. Он гораздо быстрее и гораздо меньше вероятность ошибок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему так не раскладывают на простейшие дроби?
Сообщение28.07.2024, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Red_Herring в сообщении #1647660 писал(а):
ам метод кажется практичным
непрактичным (исправить.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group