Почему так не раскладывают на простейшие дроби?

[integ]

Вот есть у нас есть рациональная дробь $f(x)=\dfrac{P_m(x)}{Q_n(x)}$. Рассмотрим случай, когда $m<n$ и многочлен $Q_n(x)$ имеет $n$ действительных, но различных корней. В таком случае можно сказать, что $\dfrac{P_m(x)}{Q_n(x)}=\displaystyle\sum_{i=0}^n\;\dfrac{A_i}{x-x_i}$

Но ведь мы может обе части этого равенства домножить на $(x-x_i)$, тогда получаем $(x-x_i)f(x)=(x-x_i)\cdot \displaystyle\sum_{i=0}^n\;\dfrac{A_i}{x-x_i}$. А отсюда сразу следует, что при $x\to x_i$ мы получаем формулу для определения коэффициентов. Это правда? Можно ли обобщить?

$A_i=\displaystyle\lim_{x\to x_i} (x-x_i)f(x)$

$A_i=\displaystyle\lim_{x\to x_i} (x-x_i)\cdot \dfrac{P_m(x)}{Q_n(x)}$

[dgwuqtj]

Мне не нравится, что у вас $i$ одновременно и свободная переменная, и индекс в сумме. По идее, это как раз стандартный способ получить $A_i$.

[integ]

dgwuqtj в сообщении #1647595 писал(а):

Мне не нравится, что у вас $i$ одновременно и свободная переменная, и индекс в сумме. По идее, это как раз стандартный способ получить $A_i$.

Спасибо. Хорошо, тогда заменим $i$ на $k$

$A_k=\displaystyle\lim_{x\to x_k} (x-x_k)f(x)$

$A_k=\displaystyle\lim_{x\to x_k} (x-x_k)\cdot \dfrac{P_m(x)}{Q_n(x)}$

Но если есть кратные или комплексные корни -- это обобщается? Просто я до этого знал только метод неопределенных коэффициентов и просто идею, заключающующуюся в том, чтобы обе части равенства $\dfrac{P_m(x)}{Q_n(x)}=\displaystyle\sum_{i=0}^n\;\dfrac{A_i}{x-x_i}$ домножить на $Q_n(x)$ и далее подставить в полученное равенство $n$ различных удобных значений переменной $x$, получив систему из $n$ уравнений с $n$ неизвестными, имеющую единственное решение. Или комбинацию этих методов. А вот отдельную формулу для коэффициентов не встречал ранее. Может быть я какую-то не ту литературу читал.

[Red_Herring]

integ в сообщении #1647596 писал(а):

Но если есть кратные или комплексные корни -- это обобщается?

Для простых комплексных корней это обобщается напрямую. Если $x_k$ корень кратности $r$, то коэффициент при $(x-x_k)^{-r}$ вычисляется как предел $(x-x_k)^rf(x)$. Формулы для других коэффициентов сложнее и практически удобнее посчитать указанные коэффициенты по формулам, а все остальные--методом неопределенных коэффициентов.

[iifat]

integ в сообщении #1647596 писал(а):

если есть кратные

В принципе, можно и производных побрать (кроме коэффициента, указанного Red_Herring). Но это может оказаться муторнее метода неопределённых коэффициентов.

[Евгений Машеров]

Метод кажется работоспособным, но непрактичным. Поскольку в методе неопределённых коэффициентов получаем сразу все, а тут надо повторять процедуру для каждого слагаемого.

[Red_Herring]

Евгений Машеров в сообщении #1647655 писал(а):

Метод кажется работоспособным, но непрактичным.

Вам метод кажется практичным, но те, кто учил студентов, знают что он гораздо практичнее метода неопределенных коэффициентов. Он гораздо быстрее и гораздо меньше вероятность ошибок.

[Red_Herring]

Red_Herring в сообщении #1647660 писал(а):

ам метод кажется практичным

непрактичным (исправить.)