Корень из двух не от противного иррациональность

[TOTAL]

Gagarin1968 в сообщении #1647445 писал(а):

TOTAL в сообщении #1647443 писал(а):

Пусть $2n^2 = m^2$.

TOTAL
Вот этот момент. Разве Вы не оговариваете взаимную простоту $m $ и $n$?

Нет, не оговариваю.

[Cnupm]

maxmatem в сообщении #1647415 писал(а):

https://math.stackexchange.com/questions/5/how-can-you-prove-that-the-square-root-of-two-is-irrational

Тут как раз обсуждались вопросы доказательства без метода от противного.

Там кстати пытаются доказать цепной дробью. И пишут контрпример в виде разложения 2 в бесконечную цепную дробь. На что кто-то отвечает, что корень из 2 раскладывается в правильную цепную дробь, а 2 в неправильную. В чём принципиальная разница?

[dgwuqtj]

Cnupm в сообщении #1647447 писал(а):

Мне в принципе не нравится что в математике столько доказательств от противного.

Иррациональность $\sqrt 2$ всё-таки не из таких. Можете прочитать какие-нибудь книжки по конструктивной (интуиционистской) математике, там доказательств от противного нет, но что-то становится сложнее даже на уровне определений. А что за "внутренняя сущность" у доказательств?

[Cnupm]

dgwuqtj
Раскладывая в десятичную дробь, узнать что-то об этой записи. Не просто доказать, что число иррационально, а объяснить почему оно иррационально.

[пианист]

Cnupm в сообщении #1647460 писал(а):

Не просто доказать, что число иррационально, а объяснить почему оно иррационально

Заинтриговали. А как могло бы выглядеть такое объяснение, хотя бы примерно?
Ну вот, например, у нас есть Северное полушарие Земли и Южное. Новая Зеландия находится в Южном. Как можно _объяснить_ сей факт?

[dgwuqtj]

Cnupm в сообщении #1647460 писал(а):

Раскладывая в десятичную дробь, узнать что-то об этой записи.

Казалось бы, при чём тут десятичные дроби... Вы хоты бы ассоциативность умножения умеете доказывать через умножение в столбик?

[TOTAL]

Cnupm в сообщении #1647460 писал(а):

Не просто доказать, что число иррационально, а объяснить почему оно иррационально.

Объяснение: иррационально по определению.

[Andrey A]

Не понимаю. Если периодичность непрерывной дроби годится за доказательство, то раскладывая величину обратную дробной части, получаем
$1)\ \sqrt{2}=1+\dfrac{-1+\sqrt{2}}{1}=1+\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}.$
$2)\ \dfrac{1+\sqrt{2}}{1}=2+\dfrac{-1+\sqrt{2}}{1}=2+\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}.$
$3)\ \dfrac{1+\sqrt{2}}{1}=2+\dfrac{-1+\sqrt{2}}{1}=2+\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}.$
$4)\ \dfrac{1+\sqrt{2}}{1}=2+...$
Третий шаг полностью повторяет второй, четвертый — третий и т.д. То есть дробь периодична с периодом $(2).$ Никаких рассуждений типа "предположим существует ... тогда приходим к противречию" тут не задйствовано. Чего же боле? Бесконечная периодическая цепная дробь есть квадратичная иррациональность.

[Cnupm]

dgwuqtj
Ассоциативность умножения думаю надо доказывать так
n=1+1+...+1 (n раз)
m=1+1+...+1 (m раз)
k=1+1+...+1 (n раз)

n*m=(1+1+...+1) + (1+1+...+1) + ... (1+1+...+1) (m раз)
______n раз__________n раз_________n раз___________

и т.д.

Представили всё ввиде суммы единичек, доказали и ассоциативность и дистрибутивность и коммутативность.

-- 26.07.2024, 20:13 --

А есть ли доказательство ассоциативности ОТ ПРОТИВНОГО?

[drzewo]

Cnupm в сообщении #1647447 писал(а):

Если доказываем от противного, значит внутреннюю сущность доказываемого не понимаем.

Не понимаем -- это когда не можем доказать или опровергнуть.

[dgwuqtj]

Cnupm в сообщении #1647474 писал(а):

А есть ли доказательство ассоциативности ОТ ПРОТИВНОГО?

Я уже писал, что у всего есть такие доказательства.

А про десятичную систему счисления я так и не понял. Вы намекаете, что хотите использовать вещественные числа в формулировке, то есть взять готовое число $\sqrt 2$ и доказывать иррациональность. Иррациональность вы хотите определять через систему счисления. А умножение вещественных чисел вы тогда как определяете?

[Cnupm]

dgwuqtj
Да, иррациональное число определим как имеющее непериодическую десятичную запись. Рациональное число определим как имеющее конечную или периодическую десятичную запись. Из этого докажем обычное определение рационального числа как представимого в виде a/b.

-- 26.07.2024, 20:43 --

dgwuqtj в сообщении #1647477 писал(а):

А умножение вещественных чисел вы тогда как определяете?

Всё же идёт от натуральных чисел.

[dgwuqtj]

Cnupm в сообщении #1647480 писал(а):

Всё же идёт от натуральных чисел.

А поподробнее? Я не умею делать это конструктивно. Вычитать вещественные числа в десятичном представлении тоже не умею.

[Booker48]

Десятичную сс можно использовать.
Если $n^2=2m^2$, то в 10сс у $m^2$ последняя цифра может быть только $0, 1, 4, 5, 6, 9$.
Но тогда у $n^2$ последняя цифра будет соответственно $0, 2, 8, 0, 2, 8$.
Отбрасывая невозможные для квадрата в 10сс окончания, получаем, что $m$ и $n$ кратны $5$.

[maxmatem]

Цитата:

Задумываюсь о простых вещах и прихожу к выводу что всё не так просто. Мне в принципе не нравится что в математике столько доказательств от противного. Если доказываем от противного, значит внутреннюю сущность доказываемого не понимаем.

(Оффтоп)

не согласен. совершенно нормальный метод.
Лобачевский с помощью этого метода геометрию новую открыл, а Вы говорите -сущность доказываемого не понимаем.....

(Оффтоп)

Вообще данные темы с вопросами как можно доказать не используя то то вполне сходятся к смешному ...
Можешь рубить дрова топором двумя руками? -да
а одной рукой ? -да
а ногой ? -да, но не удобно ....
мораль- не усложняйте жизнь.