Здравствуйте, друзья. Я вьетнамец, поэтому мой русский очень плохой.!
У меня есть гипотеза, которую я вывел из одной основной задачи. Я долго думал над этим, но не смог решить самостоятельно. Я не знаю, верна она или нет, поэтому прошу вашей помощи:
Если
![$ f(x) $ $ f(x) $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/6/ed63791ac6e72685c39e449ed1fb9e9382.png)
является монотонно убывающей функцией, имеющей производную и
![$ f(x) > 0, \,\forall x \in [n,n+1] $ $ f(x) > 0, \,\forall x \in [n,n+1] $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/3/eb32347fbf0b4a9cabcdb25d7058e30e82.png)
, то для
![$ 0 < n < m < n+1; \, m,n \in \mathbb{Z} $ $ 0 < n < m < n+1; \, m,n \in \mathbb{Z} $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/2/272bb6bc3c90fe2013729ee5125d85c682.png)
мы имеем
![$$\displaystyle \int_{m-1}^{n} f(x) \, dx > \sum_{k=m}^n f(k) > \int_m^{n+1} f(x) \, dx $$ $$\displaystyle \int_{m-1}^{n} f(x) \, dx > \sum_{k=m}^n f(k) > \int_m^{n+1} f(x) \, dx $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/b/eab845697938e463d6f1f974e50f270182.png)
Неравенство выше меняется на противоположное, если функция монотонно возрастает.
Это неравенство также можно расширить и обобщить?
У меня есть гипотеза, выведенная из следующей основной задачи:
Пусть функция
![$ f(x) $ $ f(x) $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/6/ed63791ac6e72685c39e449ed1fb9e9382.png)
имеет вторую производную на
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
и
![$ f''(x) \geq 0 $ $ f''(x) \geq 0 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/f/9cfac11e9417621231dfcc53952615e282.png)
,
![$\forall x \in \mathbb{R}$ $\forall x \in \mathbb{R}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/f/d8f2d4cd49299a048fbe921a378370ee82.png)
(количество нулей второй производной
![$ f''(x) = 0 $ $ f''(x) = 0 $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/1/4e162e28e8f12b91c8eee474d2f1c69182.png)
конечно). Докажите, что:
![$$f(n) - f(0) < \sum_{i=1}^{n} f'(i) < f(n+1) - f(1), \, \forall n \in \mathbb{N}^* $$ $$f(n) - f(0) < \sum_{i=1}^{n} f'(i) < f(n+1) - f(1), \, \forall n \in \mathbb{N}^* $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/1/15156a7efe528b9668fb27306dba0a7882.png)
Замечание: Если
![$ f''(x) \leq 0 $ $ f''(x) \leq 0 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/c/14c25cc98facb87c11e04d01396a07ae82.png)
,
![$\forall x \in \mathbb{R}$ $\forall x \in \mathbb{R}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/f/d8f2d4cd49299a048fbe921a378370ee82.png)
, то неравенство меняется на противоположное
![$$ f(n+1) - f(1) < \sum_{i=1}^{n} f'(i) < f(n) - f(0), \, \forall n \in \mathbb{N}^*$$ $$ f(n+1) - f(1) < \sum_{i=1}^{n} f'(i) < f(n) - f(0), \, \forall n \in \mathbb{N}^*$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/9/a8918566538b7f49dd7f1981155f448b82.png)
Спасибо за ваш интерес к моей статье.