Интегральное неравенство

[levietbao]

Здравствуйте, друзья. Я вьетнамец, поэтому мой русский очень плохой.!

У меня есть гипотеза, которую я вывел из одной основной задачи. Я долго думал над этим, но не смог решить самостоятельно. Я не знаю, верна она или нет, поэтому прошу вашей помощи:

Если $ f(x) $ является монотонно убывающей функцией, имеющей производную и $ f(x) > 0, \,\forall x \in [n,n+1] $, то для $ 0 < n < m < n+1; \, m,n \in \mathbb{Z} $ мы имеем

$$\displaystyle \int_{m-1}^{n} f(x) \, dx > \sum_{k=m}^n f(k) > \int_m^{n+1} f(x) \, dx $$

Неравенство выше меняется на противоположное, если функция монотонно возрастает.

Это неравенство также можно расширить и обобщить?



У меня есть гипотеза, выведенная из следующей основной задачи:

Пусть функция $ f(x) $ имеет вторую производную на $\mathbb{R}$ и $ f''(x) \geq 0 $, $\forall x \in \mathbb{R}$ (количество нулей второй производной $ f''(x) = 0 $ конечно). Докажите, что:

$$f(n) - f(0) < \sum_{i=1}^{n} f'(i) < f(n+1) - f(1), \, \forall n \in \mathbb{N}^* $$

Замечание: Если $ f''(x) \leq 0 $, $\forall x \in \mathbb{R}$, то неравенство меняется на противоположное

$$ f(n+1) - f(1) < \sum_{i=1}^{n} f'(i) < f(n) - f(0), \, \forall n \in \mathbb{N}^*$$

Спасибо за ваш интерес к моей статье.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать, создаются в этом разделе.
В олимпиадном разделе размещаются задачи, решение которых известно автору, но он предлагает другим участникам попробовать свои силы в поисках этого решения.

[wrest]

levietbao в сообщении #1646037 писал(а):

то для $ 0 < n < m < n+1; \, m,n \in \mathbb{Z} $ мы имеем

Если буквой $\mathbb{Z} $ обозначено множество целых чисел $\mathbb{Z}=\{ \dots;-2;-1;0;1;2;\dots \}$ то не существует такого $m$ что $n < m < n+1; \, m,n \in \mathbb{Z} $

[mihiv]

Условия выполнения первого неравенства , видимо, приведены с ошибкой, на которую указал wrest.
Их можно было бы исправить, например, так: Если $ f(x) $ является монотонно убывающей функцией, имеющей производную, то для $ 0 < m < n+1; \, m,n \in \mathbb{Z} $ мы имеем

$$\displaystyle \int_{m-1}^{n} f(x) \, dx > \sum_{k=m}^n f(k) > \int_m^{n+1} f(x) \, dx $$

(Условие $f(x)>0$- лишнее).
В этом случае первое неравенство верное.
Рассмотрим второе неравенство. Пусть $f^{''}(x)\leqslant 0$, тогда функция $f'(x)$ удовлетворяет тем же условиям, которые требуются от функции $f(x)$ в первом неравенстве (то есть $f'(x)$ монотонно убывает, имеет производную). Тогда, записывая первое неравенство для функции $f'(x)$ вместо $f(x)$, получим второе неравенство.

[Combat Zone]

mihiv в сообщении #1647099 писал(а):

(Условие $f(x)>0$- лишнее).

Условие существования производной тоже лишнее. Убывания достаточно.