Проблема тождества слов в конечной группе.

[B@R5uk]

mathematician123, не взлетит. Нужно соотношение, показывающее образ сопряжения для каждой пары образующих. Иногда одно соотношение может заменить два (или пара тройку), но в общем случае, при недостаточном количестве соотношений ($k<r(r+1)/2$) группа, как правило, оказывается бесконечной.

[mathematician123]

B@R5uk
Я там дальше добавил соотношение $s_1s_3 = s_3s_1$. В итоге получились соотношения

$$s_1^n = I \quad s_1s_2s_1^{-1} = s_2^n \quad s_2s_3s_2^{-1} = s_3^n \quad s_1s_3 = s_3s_1$$

Вроде этого достаточно, чтобы доказать, что любой элемент группы представим в виде $s_3^a s_2^b s_1^c$: $s_1$ и $s_3$ коммутируют, а второе и третье соотношения позволяют переставлять местами $s_1$ с $s_2$, $s_2$ с $s_3$. Из оценок на порядок $s_1, s_2, s_3$ из моего предыдущего сообщения следует, что порядок группы не больше чем $n(n^n - 1)(n^{n^n - 1} - 1)$. Но я не знаю как доказать/опровергнуть существование группы такого порядка.

[mathematician123]

mathematician123 в сообщении #1646736 писал(а):

$$s_1^n = I \quad s_1s_2s_1^{-1} = s_2^n \quad s_2s_3s_2^{-1} = s_3^n \quad s_1s_3 = s_3s_1$$

Хотя так тоже не работает

$$s_3^{n^n} = s_2^n s_3 s_2^{-n} = s_1s_2s_1^{-1} s_3 s_1 s_2^{-1} s_1^{-1} = s_1s_2s_3s_2^{-1} s_1^{-1} = s_3^n$$

[B@R5uk]

Я тут нащупал:

$$G_{1344}=\langle\;a,\;b,\;c\;|\;(ab)^2=c^3=I,\;ca^2=ac,\;cb^2=bc\;\rangle$$

За одно получил частичный ответ на давно мучающий меня вопрос: какое минимальное число соотношений нужно для задание конечной группы, имеющей ранк 3? (Ну, или хотя бы тремя образующими — самопальная программа не осилила в разумное время проанализировать структуру подгрупп). Оказывается, четырёх уже достаточно, меньше будет только 3 соотношения, и я что-то сомневаюсь, что этого достаточно для конечности (Интересно, можно ли это доказать?).

-- 21.07.2024, 10:30 --

Вообще, группа

$$G=\langle\;a,\;b,\;c\;|\;[a,\;b]=c^n=I,\;ca^k=ac,\;cb^l=bc\;\rangle$$

должна иметь порядок

$$|G|=n\left(k^n-1\right)\left(l^n-1\right)$$

Она не всегда будет даже иметь ранг 3, только если НОД значений разностей в скобках больше единицы.