2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Проблема тождества слов в конечной группе.
Сообщение18.07.2024, 21:05 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
mathematician123, не взлетит. Нужно соотношение, показывающее образ сопряжения для каждой пары образующих. Иногда одно соотношение может заменить два (или пара тройку), но в общем случае, при недостаточном количестве соотношений ($k<r(r+1)/2$) группа, как правило, оказывается бесконечной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема тождества слов в конечной группе.
Сообщение18.07.2024, 22:50 


21/04/22
356
B@R5uk
Я там дальше добавил соотношение $s_1s_3 = s_3s_1$. В итоге получились соотношения
$$s_1^n = I \quad s_1s_2s_1^{-1} = s_2^n \quad s_2s_3s_2^{-1} = s_3^n \quad s_1s_3 = s_3s_1$$
Вроде этого достаточно, чтобы доказать, что любой элемент группы представим в виде $s_3^a s_2^b s_1^c$: $s_1$ и $s_3$ коммутируют, а второе и третье соотношения позволяют переставлять местами $s_1$ с $s_2$, $s_2$ с $s_3$. Из оценок на порядок $s_1, s_2, s_3$ из моего предыдущего сообщения следует, что порядок группы не больше чем $n(n^n - 1)(n^{n^n - 1} - 1)$. Но я не знаю как доказать/опровергнуть существование группы такого порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема тождества слов в конечной группе.
Сообщение19.07.2024, 10:58 


21/04/22
356
mathematician123 в сообщении #1646736 писал(а):
$$s_1^n = I \quad s_1s_2s_1^{-1} = s_2^n \quad s_2s_3s_2^{-1} = s_3^n \quad s_1s_3 = s_3s_1$$

Хотя так тоже не работает
$$s_3^{n^n} = s_2^n s_3 s_2^{-n} = s_1s_2s_1^{-1} s_3 s_1 s_2^{-1} s_1^{-1} = s_1s_2s_3s_2^{-1} s_1^{-1} = s_3^n$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема тождества слов в конечной группе.
Сообщение21.07.2024, 10:08 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Изображение Я тут нащупал: $$G_{1344}=\langle\;a,\;b,\;c\;|\;(ab)^2=c^3=I,\;ca^2=ac,\;cb^2=bc\;\rangle$$ За одно получил частичный ответ на давно мучающий меня вопрос: какое минимальное число соотношений нужно для задание конечной группы, имеющей ранк 3? (Ну, или хотя бы тремя образующими — самопальная программа не осилила в разумное время проанализировать структуру подгрупп). Оказывается, четырёх уже достаточно, меньше будет только 3 соотношения, и я что-то сомневаюсь, что этого достаточно для конечности (Интересно, можно ли это доказать?).

-- 21.07.2024, 10:30 --

Вообще, группа $$G=\langle\;a,\;b,\;c\;|\;[a,\;b]=c^n=I,\;ca^k=ac,\;cb^l=bc\;\rangle$$ должна иметь порядок $$|G|=n\left(k^n-1\right)\left(l^n-1\right)$$ Она не всегда будет даже иметь ранг 3, только если НОД значений разностей в скобках больше единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема тождества слов в конечной группе.
Сообщение10.08.2024, 10:52 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
К вопросу о больших группах с короткими соотношениями. Наткнулся тут (структура неизвестна): $$\left|\left\langle\;a,\;b\;|\;aba^3=b,\;b^6=I\;\right\rangle\right|=4368$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group