Проблема тождества слов в конечной группе.

[B@R5uk]

mathematician123, не взлетит. Нужно соотношение, показывающее образ сопряжения для каждой пары образующих. Иногда одно соотношение может заменить два (или пара тройку), но в общем случае, при недостаточном количестве соотношений ($k<r(r+1)/2$) группа, как правило, оказывается бесконечной.

[mathematician123]

B@R5uk
Я там дальше добавил соотношение $s_1s_3 = s_3s_1$. В итоге получились соотношения

$$s_1^n = I \quad s_1s_2s_1^{-1} = s_2^n \quad s_2s_3s_2^{-1} = s_3^n \quad s_1s_3 = s_3s_1$$

Вроде этого достаточно, чтобы доказать, что любой элемент группы представим в виде $s_3^a s_2^b s_1^c$: $s_1$ и $s_3$ коммутируют, а второе и третье соотношения позволяют переставлять местами $s_1$ с $s_2$, $s_2$ с $s_3$. Из оценок на порядок $s_1, s_2, s_3$ из моего предыдущего сообщения следует, что порядок группы не больше чем $n(n^n - 1)(n^{n^n - 1} - 1)$. Но я не знаю как доказать/опровергнуть существование группы такого порядка.

[mathematician123]

mathematician123 в сообщении #1646736 писал(а):

$$s_1^n = I \quad s_1s_2s_1^{-1} = s_2^n \quad s_2s_3s_2^{-1} = s_3^n \quad s_1s_3 = s_3s_1$$

Хотя так тоже не работает

$$s_3^{n^n} = s_2^n s_3 s_2^{-n} = s_1s_2s_1^{-1} s_3 s_1 s_2^{-1} s_1^{-1} = s_1s_2s_3s_2^{-1} s_1^{-1} = s_3^n$$

[B@R5uk]

Я тут нащупал:

$$G_{1344}=\langle\;a,\;b,\;c\;|\;(ab)^2=c^3=I,\;ca^2=ac,\;cb^2=bc\;\rangle$$

За одно получил частичный ответ на давно мучающий меня вопрос: какое минимальное число соотношений нужно для задание конечной группы, имеющей ранк 3? (Ну, или хотя бы тремя образующими — самопальная программа не осилила в разумное время проанализировать структуру подгрупп). Оказывается, четырёх уже достаточно, меньше будет только 3 соотношения, и я что-то сомневаюсь, что этого достаточно для конечности (Интересно, можно ли это доказать?).

-- 21.07.2024, 10:30 --

Вообще, группа

$$G=\langle\;a,\;b,\;c\;|\;[a,\;b]=c^n=I,\;ca^k=ac,\;cb^l=bc\;\rangle$$

должна иметь порядок

$$|G|=n\left(k^n-1\right)\left(l^n-1\right)$$

Она не всегда будет даже иметь ранг 3, только если НОД значений разностей в скобках больше единицы.

[B@R5uk]

К вопросу о больших группах с короткими соотношениями. Наткнулся тут (структура неизвестна):

$$\left|\left\langle\;a,\;b\;|\;aba^3=b,\;b^6=I\;\right\rangle\right|=4368$$

[B@R5uk]

mathematician123 в сообщении #1646587 писал(а):

Появилась идея как обобщить эту конструкцию. Рассмотрим соотношения

$$s_1^n = I \quad s_1s_2s_1^{-1} = s_2^n \quad s_2s_3s_2^{-1} = s_3^n$$

Тогда $s_2^{n^n - 1} = I$, $s_3^{n^{n^n - 1} - 1} = I$.

Не смотря на то, что группа получается бесконечная, идея стоит рассмотрения. Я тут поигрался с группой

$$G=\Bigl\langle\;a,\;b,\;\bigl|\bigr{}\;a^2=I,\;b^a=b^2,\;c^b=c^2\;\Bigr\rangle$$

добавляя к ней различные соотношения. Это фактически является нахождением фактор-группы (которая получается конечной) по некоторой (бесконечной) нормальной подгруппе группы G. Получилось вот что (нижним индексом указан порядок):

$$G_{168}=\Bigl\langle\;G\;\bigl|\bigr{}\;(ac)^3=I\;\Bigr\rangle\simeq\mathrm{PSL}\bigl(2,\;7\bigr)$$

$$G_{1008}=\Bigl\langle\;G\;\bigl|\bigr{}\;(ac)^4=I\;\Bigr\rangle$$

$$G_{1008}=\Bigl\langle\;G\;\bigl|\bigr{}\;(acac^2)^2=I\;\Bigr\rangle$$

$$G_{2520}=\Bigl\langle\;G\;\bigl|\bigr{}\;(ac)^5=(ac^2)^7=I\;\Bigr\rangle$$

$$G_{2520}=\Bigl\langle\;G\;\bigl|\bigr{}\;(ac)^7=(ac^2)^5=I\;\Bigr\rangle$$

Структуру групп не изучал, так что группы с одинаковыми порядками тут могут оказаться не изоморфными.

Интересно, что элемент ac группы G после проекции в фактор-группу может иметь порядки 3, 4, 5 и 7, где порядок 5 является в некотором смысле "неожиданным" (не является делителем произведения порядков из формул выше). В связи с этим встаёт вопрос, а какие ещё порядки может иметь этот элемент?

-- 18.02.2025, 13:51 --

Ещё вот такая группа оказалась конечной:

$$G_{1092}=\Bigl\langle\;a,\;b,\;\bigl|\bigr{}\;a^2=I,\;b^a=b^2,\;c^b=c^3,\;(ac)^3=(ac^2)^{13}=I\;\Bigr\rangle$$

и имеет 7 в качестве "неожиданного" делителя порядка. Ко всему прочему она ещё является простой.