2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Проблема тождества слов в конечной группе.
Сообщение18.07.2024, 21:05 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
mathematician123, не взлетит. Нужно соотношение, показывающее образ сопряжения для каждой пары образующих. Иногда одно соотношение может заменить два (или пара тройку), но в общем случае, при недостаточном количестве соотношений ($k<r(r+1)/2$) группа, как правило, оказывается бесконечной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема тождества слов в конечной группе.
Сообщение18.07.2024, 22:50 


21/04/22
356
B@R5uk
Я там дальше добавил соотношение $s_1s_3 = s_3s_1$. В итоге получились соотношения
$$s_1^n = I \quad s_1s_2s_1^{-1} = s_2^n \quad s_2s_3s_2^{-1} = s_3^n \quad s_1s_3 = s_3s_1$$
Вроде этого достаточно, чтобы доказать, что любой элемент группы представим в виде $s_3^a s_2^b s_1^c$: $s_1$ и $s_3$ коммутируют, а второе и третье соотношения позволяют переставлять местами $s_1$ с $s_2$, $s_2$ с $s_3$. Из оценок на порядок $s_1, s_2, s_3$ из моего предыдущего сообщения следует, что порядок группы не больше чем $n(n^n - 1)(n^{n^n - 1} - 1)$. Но я не знаю как доказать/опровергнуть существование группы такого порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема тождества слов в конечной группе.
Сообщение19.07.2024, 10:58 


21/04/22
356
mathematician123 в сообщении #1646736 писал(а):
$$s_1^n = I \quad s_1s_2s_1^{-1} = s_2^n \quad s_2s_3s_2^{-1} = s_3^n \quad s_1s_3 = s_3s_1$$

Хотя так тоже не работает
$$s_3^{n^n} = s_2^n s_3 s_2^{-n} = s_1s_2s_1^{-1} s_3 s_1 s_2^{-1} s_1^{-1} = s_1s_2s_3s_2^{-1} s_1^{-1} = s_3^n$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема тождества слов в конечной группе.
Сообщение21.07.2024, 10:08 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Изображение Я тут нащупал: $$G_{1344}=\langle\;a,\;b,\;c\;|\;(ab)^2=c^3=I,\;ca^2=ac,\;cb^2=bc\;\rangle$$ За одно получил частичный ответ на давно мучающий меня вопрос: какое минимальное число соотношений нужно для задание конечной группы, имеющей ранк 3? (Ну, или хотя бы тремя образующими — самопальная программа не осилила в разумное время проанализировать структуру подгрупп). Оказывается, четырёх уже достаточно, меньше будет только 3 соотношения, и я что-то сомневаюсь, что этого достаточно для конечности (Интересно, можно ли это доказать?).

-- 21.07.2024, 10:30 --

Вообще, группа $$G=\langle\;a,\;b,\;c\;|\;[a,\;b]=c^n=I,\;ca^k=ac,\;cb^l=bc\;\rangle$$ должна иметь порядок $$|G|=n\left(k^n-1\right)\left(l^n-1\right)$$ Она не всегда будет даже иметь ранг 3, только если НОД значений разностей в скобках больше единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема тождества слов в конечной группе.
Сообщение10.08.2024, 10:52 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
К вопросу о больших группах с короткими соотношениями. Наткнулся тут (структура неизвестна): $$\left|\left\langle\;a,\;b\;|\;aba^3=b,\;b^6=I\;\right\rangle\right|=4368$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group