Меня спросили (по личным каналам) про опровержение ансамблевой интерпретации. Я решил написать ответ тут, так как это вполне в рамках данной темы и может быть это интересно больше чем одному человеку. Идея в следующем. Основная мысль ансамблевой интерпретации в том, что волновая функция описывает не состояние индивидуальной квантовой системы (например, частицы), но
лишь состояние ансамбля, способ приготовления набора систем.
Представим например две машины, которые делают круглые конфеты. Машина А очень хорошо отлажена и делает конфеты идеальной формы в 99,9% случаев и лишь в 0,1% случаев конфеты имеют заметное отклонение от сферичности. Машина Б старая, расшатанная и конфеты, сделанные ей, несферичны в 1% случаев. Представим что нам дали мешок конфет, сделанный одной из машин. Можем ли мы определить какой машиной он сделан? Да, легко -- достаточно посчитать процент несферичных конфет. То есть имея ансамбль систем легко сказать каким из двух различных способов он был создан и промаркировать его соответственно. Но можно ли имея одну конфету сказать сделана она машиной А или Б? Нет, однозначно этого сказать нельзя, любое состояние конфеты совместимо как с предположением, что она сделана машиной А, так и с предположением, что она сделана машиной Б. В такой ситуации маркировка (А или Б) описывает лишь ансамбль (причём тем лучше, чем ансамбль больше), но ничего не говорит об индивидуальной системе.
Рассмотрим теперь два ансамбля электронов, созданных с помощью прибора Штерна -- Герлаха. Один ансамбль приготовлен в состоянии со спином направленным вверх по оси
![$Z$ $Z$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/5/5b51bd2e6f329245d425b8002d7cf94282.png)
, а другой в состоянии со спином направленным вверх по оси
![$Y$ $Y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/a/91aac9730317276af725abd8cef04ca982.png)
. Если верна ансамблевая интерпретация, то мы должны ожидать, что как и в случае с конфетами мы не можем промаркировать каждый индивидуальный электрон как находящийся в состоянии
![$+Z$ $+Z$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/e/9ced6b42e7a9cc6a74a889e1c9e70a5782.png)
или состоянии
![$+Y$ $+Y$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/8/2e81f41b6f1c065a576e14d08a60c1df82.png)
; что хотя бы часть электронов будут такими, что их можно отнести и туда и туда. Так вот можно доказать, что такое предположение несовместимо с квантовой механикой и что, следовательно, квантовые состояния описывают индивидуальные особенности систем, а не только их способ приготовления.
Полное доказательство сложное, но можно проследить центральную идею на частном случае таких двух состояний
![$|\varphi\rangle$ $|\varphi\rangle$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/2/6e29d9def794d68dd49c8bf5c0182ac082.png)
,
![$|\psi\rangle$ $|\psi\rangle$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/4/7a4b107ddfaca0d7066a8787ddacc32082.png)
, что
![$\left| \langle \varphi | \psi \rangle \right| = \frac 1 {\sqrt 2}$ $\left| \langle \varphi | \psi \rangle \right| = \frac 1 {\sqrt 2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/e/14e57e37b51af64d69c732f0835f2d1982.png)
. Рассмотрим систему, приготовленную в безразличном смешанном состоянии -- либо
![$|\varphi\rangle$ $|\varphi\rangle$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/2/6e29d9def794d68dd49c8bf5c0182ac082.png)
либо
![$|\psi\rangle$ $|\psi\rangle$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/4/7a4b107ddfaca0d7066a8787ddacc32082.png)
. Тогда по нашему предположению с некоторой вероятностью
![$q > 0$ $q > 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/7/9e7cdc3fdf368011fea748e84c52985482.png)
подобная система система окажется такой, что её нельзя однозначно отнести именно к состоянию
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
или именно к состоянию
![$\psi$ $\psi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/3/7e3c241c2dec821bd6c6fbd314fe476282.png)
. Возьмём пару таких систем, приготовленных независимо. Тогда с вероятностью
![$q^2 > 0$ $q^2 > 0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/e/c1ecae49ecc5d649713294ddbc1aba7a82.png)
эта пара окажется такой, что её можно отнести к
любому из четырёх состояний
![$|\varphi\rangle \otimes |\varphi\rangle$ $|\varphi\rangle \otimes |\varphi\rangle$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/1/86127c56688fca32783806cf79bb2d4282.png)
,
![$|\varphi\rangle \otimes |\psi\rangle$ $|\varphi\rangle \otimes |\psi\rangle$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/f/b2f7bacc52146476bde74c67802366fa82.png)
,
![$|\psi\rangle \otimes |\varphi\rangle$ $|\psi\rangle \otimes |\varphi\rangle$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/1/b819a508a1c87532c26a65de5e6752c682.png)
,
![$|\psi\rangle \otimes |\psi\rangle$ $|\psi\rangle \otimes |\psi\rangle$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/0/33001526df9551a1b462ac388b4de54182.png)
.
Всегда можно найти пару ортогональных состояний
![$|0\rangle$ $|0\rangle$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/7/6c7b0779fae1ce1ee269ac75a7ee4e9d82.png)
,
![$|1\rangle$ $|1\rangle$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/2/ec2376fb49efb4243a3f5d76fe720bbb82.png)
таких, что
![$|\varphi\rangle = |0\rangle$ $|\varphi\rangle = |0\rangle$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/d/0fd361e45125e959e0fd103693c2ed0482.png)
,
![$|\psi\rangle = \frac 1 {\sqrt 2} (|0\rangle + |1\rangle) =: |+\rangle$ $|\psi\rangle = \frac 1 {\sqrt 2} (|0\rangle + |1\rangle) =: |+\rangle$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/6/4b65f7cb7ba0321940d1c183b05b450182.png)
. Подвергнем пару систем измерению, проецирующему состояние на одно из следующих четырёх ортогональных состояний:
![\begin{align*}
|\xi_1\rangle &= \frac 1 {\sqrt 2} (|0\rangle \otimes |1\rangle + |1\rangle \otimes |0\rangle),\\
|\xi_2\rangle &= \frac 1 {\sqrt 2} (|0\rangle \otimes |-\rangle + |1\rangle \otimes |+\rangle),\\
|\xi_3\rangle &= \frac 1 {\sqrt 2} (|+\rangle \otimes |1\rangle + |-\rangle \otimes |0\rangle),\\
|\xi_4\rangle &= \frac 1 {\sqrt 2} (|+\rangle \otimes |-\rangle + |-\rangle \otimes |+\rangle),
\end{align*} \begin{align*}
|\xi_1\rangle &= \frac 1 {\sqrt 2} (|0\rangle \otimes |1\rangle + |1\rangle \otimes |0\rangle),\\
|\xi_2\rangle &= \frac 1 {\sqrt 2} (|0\rangle \otimes |-\rangle + |1\rangle \otimes |+\rangle),\\
|\xi_3\rangle &= \frac 1 {\sqrt 2} (|+\rangle \otimes |1\rangle + |-\rangle \otimes |0\rangle),\\
|\xi_4\rangle &= \frac 1 {\sqrt 2} (|+\rangle \otimes |-\rangle + |-\rangle \otimes |+\rangle),
\end{align*}](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/9/e096c66b68c0db15d3a2b393a779bc1d82.png)
где
![$|-\rangle := \frac 1 {\sqrt 2} (|0\rangle - |1\rangle)$ $|-\rangle := \frac 1 {\sqrt 2} (|0\rangle - |1\rangle)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/0/0301c3adc260e0a7dbc2f9f87dc2fb7d82.png)
.
При этом
![$|\xi_1\rangle$ $|\xi_1\rangle$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/6/196508a0ee5df834c77de73a68b86e0a82.png)
ортогонально к
![$|\varphi\rangle \otimes |\varphi\rangle$ $|\varphi\rangle \otimes |\varphi\rangle$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/1/86127c56688fca32783806cf79bb2d4282.png)
, поэтому вероятность получения этого результата измерения равна нулю, если измеряется состояние
![$|\varphi\rangle \otimes |\varphi\rangle$ $|\varphi\rangle \otimes |\varphi\rangle$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/1/86127c56688fca32783806cf79bb2d4282.png)
. Поэтому оно не может реализовываться в интересующих нас
![$q^2$ $q^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/1/b6130f886b995fba3499527f12b11ed082.png)
случаях. Аналогично
![$|\xi_2\rangle$ $|\xi_2\rangle$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/3/10354e61d0ecf7d05ddee3479b9290f982.png)
ортогонально
![$|\varphi\rangle \otimes |\psi\rangle$ $|\varphi\rangle \otimes |\psi\rangle$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/f/b2f7bacc52146476bde74c67802366fa82.png)
,
![$|\xi_3\rangle$ $|\xi_3\rangle$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/0/4e01e80371a558d15086722a6f1dd9f682.png)
ортогонально
![$|\psi\rangle \otimes |\varphi\rangle$ $|\psi\rangle \otimes |\varphi\rangle$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/1/b819a508a1c87532c26a65de5e6752c682.png)
, а
![$|\xi_4\rangle$ $|\xi_4\rangle$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/0/2503e5ef6704d96e97106b2a82242f8f82.png)
ортогонально
![$|\psi\rangle \otimes |\psi\rangle$ $|\psi\rangle \otimes |\psi\rangle$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/0/33001526df9551a1b462ac388b4de54182.png)
, поэтому ни один из этих результатов не может реализовываться в интересующих нас случаях. Но это все возможные результаты подобного измерения пары систем, следовательно мы пришли к противоречию.
Этот результат (для произвольной пары состояний
![$|\psi\rangle \ne |\varphi\rangle$ $|\psi\rangle \ne |\varphi\rangle$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/b/97b6b506adf088b1f46c9f496f46d7a682.png)
) называется теоремой ПБР по инициалам авторов и считается специалистами одним из крупнейших результатов в области оснований квантовой механики, наравне с неравенствами Белла.
Иллюстрация с конфетами взята из этого видео. Доказательство взято из оригинальной публикации "On the reality of the quantum state" за авторством Matthew F. Pusey, Jonathan Barrett, Terry Rudolph.