Связь между суперпозицией и квантовой запутанностью

[pppppppo_98]

warlock66613 в сообщении #1645956 писал(а):

pppppppo_98 в сообщении #1645951 писал(а):

Гамильтониан легко диагонилизируется по этим степеням свободы...

Этим он и хорош. Но когда мы перейдём обратно к исходным координатам, они будут запутаны, разве нет?

Нет... состояние остается сепарабельным- то есть тензорным произведением двух векторов...С Таким же успехом в двухспиновой сисеме можно назвать сцепленным состоянием состояние $|00\rangle+01\rangle+|10\rangle+|11\rangle$...разница только в том , что одно гильбертово пространство бесконечно, второе конечно

[B3LYP]

warlock66613 в сообщении #1645958 писал(а):

Почти.

Странно.
Я тут как раз учусь решать ядерное УШ многоатомной молекулы:

topic158094.html

Я предполагаю, что для такой системы, запутанность будет возникать для ангармонического силового поля, и её не будет для гармонического (когда поверхность потенциальной энергии описывается параболой). Я ведь слышал что для гармонического силового поля, решение УШ во многом совпадает для решения аналогичной ньютоновской задачи.
Можно рассмотреть простейший пример - три частицы в одномерном пространстве, связанные силовыми пружинками. У них одна поступательная степень свободы и две колебательные, и две колебательные могут быть запутанными при ангармоничном поле. Так мне это сейчас видится. А для двух частиц задача эквивалентна задаче для одной частицы, привязанной пружинкой к центру, т.е. всё тот же (гармонический) осциллятор.
Ещё вопрос (сорри если я уже спрашивал и забыл): правильно ли я понимаю, что для гармонического осциллятора, с одной стороны, возможна суперпозиция состояний, но это скорее вопрос терминологии называть ли её суперпозицией, т.е. в других координатах слагаемое будет только одно?

[Cos(x-pi/2)]

warlock66613 в сообщении #1645931 писал(а):

В принципе две одномерные частицы соединённые пружинкой будут запутаны <...>

Можно даже без пружинки; совсем простой пример -- состояние двух свободно движущихся частиц при условии, что они созданы с равным нулю суммарным импульсом. (Подобный пример обсуждался в знаменитой статье Эйнштеййна, Подольского, Розена.)

Так как ТС просил продемонстрировать пример на уравнениях, то вот сверхподробное описание примера с уравнениями:

(простой пример)

Запишем гамильтониан свободного одномерного движения двух частиц (пусть для простоты с одинаковыми массами) с координатами частиц $x_1$ и $x_2:$

$$\hat{H}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x_1^2} -\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x_2^2}$$

Координата относительного движения: $q_1=x_1-x_2.$ Координата центра масс: $q_2=(x_1+x_2)/2.$ С этими координатами тот же гамильтониан равен сумме операторов кинетической энергии относительного движения (как свободной частицы с приведённой массой $m/2)$ и движения центра масс (как свободной частицы с массой $2m):$

$$\hat{H}=-\dfrac{\hbar^2}{2(m/2)}\dfrac{\partial^2}{\partial q_1^2} -\dfrac{\hbar^2}{2(2m)}\dfrac{\partial^2}{\partial q_2^2}=\hat{H}(q_1)+\hat{H}(q_2)$$

Решение динамического уравнения Шредингера с этим гамильтонианом можно записать в виде произведения волновых функций $\Phi(q_2,t)$ и $\Psi(q_1,t),$ каждая из которых зависит только от одной из двух переменных $q_1$ и $q_2.$ Т.е. выполняется равенство

$$-i\hbar\frac{\partial (\Phi\Psi)}{\partial t}=\hat{H}(\Phi\Psi)$$

потому что оно же есть

$$\Phi \cdot (-i\hbar)\frac{\partial \Psi}{\partial t} +\Psi \cdot (-i\hbar)\frac{\partial \Phi}{\partial t}=\Phi\hat{H}(q_1)\Psi + \Psi\hat{H}(q_2)\Phi\,,$$

и функции $\Phi(q_2,t)$ и $\Psi(q_1,t)$ мы возьмём не какие попало, а те, которые являются решениями динамических уравнений Шредингера с гамильтонианами $\hat{H}(q_1)$ и $\hat{H}(q_2).$


Поскольку речь идёт о свободном движении, то функции $\Phi$ и $\Psi$ можно записать как суперпозиции плоских волн, взятых с произвольными коэффициентами. Например, обозначив коэффициенты в $\Psi$ как $A_p,$ где $p$ есть импульс, имеем:

$$\Psi=\sum_p A_p\,\exp \left (\frac{ip\,q_1}{\hbar}-i\frac{p^2}{m\hbar}t\right)$$

Зададим для $\Phi$ отличным от нуля только один коэффициент -- соответствующий равному нулю импульсу центра масс; т.е. пусть суммарный импульс частиц является определённым и равным нулю. В этом случае $\Phi$ это просто константа, включаем её в нормировочную постоянную, и тогда вся волновая функция $\Phi\Psi$ сводится к выписанной выше $\Psi.$

Введём обозначения $\psi_{n,p}(x_n,t)$ для одночастичных плоских волн; пусть в них $n=1,2$ это номер частицы, $E_p=p^2/(2m)$ это энергия частицы. То есть:

$$\psi_{n,p}=\exp\left(\frac{ipx_n}{\hbar}-\frac{iE_pt}{\hbar}\right)$$

Поскольку $q_1=x_1-x_2$ и $p^2/m=2E_p,$ то выписанная выше волновая функция $\Psi(q_1,t)$ двух частиц с равным нулю суммарным импульсом представляется в виде:

$$\Psi=\sum_p A_p\,\psi_{1,p}\,\psi_{2,-p}\,.$$

Если бы состояния обеих частиц не были запутанными, то каждое из них могло бы описываться своим волновым пакетом, и тогда двухчастичная волновая функция имела бы вид их произведения:

$$\sum_p A_p \psi_{1,p}\,\sum_{p'} B_{p'}\psi_{2,p'}$$

Физическая интерпретация: при измерении импульса величина $|A_p|^2$ есть (с точностью до нормировочного множителя, для краткости не слежу за нормировками) вероятность обнаружить у частицы 1 импульс $p$ вне зависимости от того, что обнаруживается у частицы 2, и аналогично $|B_{p'}|^2$ есть вероятность обнаружить у частицы 2 импульс $p'$ вне зависимости от того, что обнаруживается у частицы 1.

В общем случае запутанное состояние обеих частиц описывалось бы волновой функцией (которая произведением функций не представляется)

$$\sum_p \sum_{p'}C_{p,p'} \psi_{1,p}\, \psi_{2,p'}\,,$$

где $C_{p,p'}\neq A_p\,B_{p'}.$ Интерпретация: $|C_{p,p'}|^2$ есть вероятность обнаружения у частиц 1 и 2 значений импульсов, равных, соответственно, $p$ и $p'.$ Т.е. в этом случае у частиц 1 и 2 нет не зависящих друг от друга распределений вероятностей; есть корреляция результатов измерений у частиц 1 и 2.

Выписанная выше функция $\Psi$ как раз и служит частным примером запутанного состояния: в ней $C_{p,p'}=A_p\,\delta_{p',-p}.$ Интерпретация: $|A_p|^2$ - вероятность обнаружить у одной из частиц импульс $p,$ и если измерение импульса происходит, то у другой частицы из этой пары частиц импульс $p'$ обязательно окажется противоположным: $p'=-p.$ В этом примере запутанность является следствием закона сохранения импульса.

[Cos(x-pi/2)]

P.S. Исправляю свои опечатки: в начале, в двух строчках с динамическим уравнением Шредингера множитель перед производной по времени везде должен быть не $(-i\hbar),$ а просто $i\hbar$ без минуса. И фамилия "Эйнштейн" должна быть с двумя буквами "й", а не с тремя.

[B3LYP]

Cos(x-pi/2)

Вы выразили суть идеи ЭПР. Можете так же формулами изложить идею НБ? Полагаю будет две частицы с двумя координатами каждая?
Я помню что НБ отличаются от ЭПР тем, что был добавлен третий базис; и я давно живу с мнением, что для понимания сути квантовой запутанности надо перейти от "одномерного мышления" к "многомерному", т.е. стараться думать не про числа а про вектора. С "одномерным мышлением" например нельзя понять что такое поляризация света.
И ещё вопрос, возвращаясь к ЭПР: в каких конкретно примерах частицы будут запутаны, а в каких нет? Если один атом плутония в вакууме распался на один атом урана и один атом гелия - эти два атома будут запутаны?

[Cos(x-pi/2)]

B3LYP

Неравенства Белла - это не квантовая механика. Они выводятся в воображаемых классических "теориях со скрытыми локальными параметрами"; с целью демонстрации неспособности таких теорий имитировать квантовую механику (КМ).

Если Вы не на словах, а на самом деле собираетесь изучить КМ, то не начинайте с забивания своей головы неравенствами Белла - они совершенно не нужны для задач в КМ.

Советую Вам не хвататься за что попало, а осваивать учебный материал; притом - не с пятого на десятое, а последовательно, обязательно с ручкой и бумагой, по учебной литературе. (Из ваших сообщений видно, что у Вас нет вузовского образования в области физики и сопутствующей математики. Если не удаётся самообразовываться, то поступайте в ВУЗ, на подходящее платное отделение. Серьёзная учёба требует не менее 4-5 лет. ВУЗ не заменить краткими курсами, интернетными чатами и просмотром видео. Массив знаний, необходимых для освоения квантовой физики, огромен. Думать, будто обучение квантовой физике или химии примерно такое же по сложности, как и навыкам программирования, - ошибка.)

B3LYP в сообщении #1646128 писал(а):

Я помню что НБ отличаются от ЭПР тем, что был добавлен третий базис; и я давно живу с мнением, что для понимания сути квантовой запутанности надо перейти от "одномерного мышления" к "многомерному", т.е. стараться думать не про числа а про вектора.

"Квантовая запутанность" - слова, означающие, что рассматриваемая нами волновая функция составной системы не равна произведению волновых функций частей, из которых состоит система. Вид волновой функции зависит от выбора её аргументов, а их выбор зависит от решаемой нами задачи и проявляется в статистических результатах. Только и всего. Никакой другой сути квантовой запутанности нет.

В приведённом примере всё это очевидно: волновая функция $\Phi\Psi$ по отношению к координатам центра масс двух частиц и их относительного движения "не запутанная", и по отношению к импульсу центра масс и импульсу относительного движения "не запутанная", а по отношению к координатам каждой из частиц, а также по отношению к импульсам каждой из частиц - "запутанная". Про сами частицы бессмысленно говорить запутанные они или нет. С атомами дело обстоит аналогично.

"Запутанностью" тоже не надо забивать себе голову. Лучше просто учиться решать задачи. Для самопроверки (хорошо ли Вы поняли тот пример) советую разобрать напрашивающиеся обобщения:

а) решите тот же пример, но теперь с разными массами частиц: $m_1$ и $m_2.$

б) а затем - и с не равным нулю заданным суммарным импульсом $P.$

в) затем то же, но уже в обычном трёхмерном пространстве, так что теперь суммарный импульс $\vec{P},$ координаты частиц $\vec{r}_n$ и т.п. - векторные величины.

B3LYP в сообщении #1646128 писал(а):

стараться думать не про числа а про вектора

Это само собой подразумевается вообще во многих разделах в физике и в большой части сопутствующей математики. Понятия "векторные пространства", "разложение векторов по ортонормированному базису", "переход от одного базиса к другому", "линейные операторы", "собственные значения и собственные векторы операторов" - все они играют фундаментальную роль. Без них ни классическую механику колебаний, ни КМ изучить невозможно.

Заодно добавлю комментарий о механике колебаний молекул. В вашей теме с просьбой помочь решить задачу о спектре частот колебаний молекулы озона Вы привели числа без формул и уравнений, в которых эти числа должны присутствовать. Это принципиально неверный подход к задаче. Если лишь вводить числа в программы, то подобная компьютерная нумерология не даст понимания. Задача обязательно должна быть сформулирована аналитически, т.е. - в виде уравнений, формул. Смысл всех обозначений в формулах должен быть указан явно. Тогда уравнения служат способом рассуждений и ведут к пониманию решения.

madschumacher, опытный человек в таких задачах, разобрался в ваших числах и пояснил, как вычислить частоты с помощью компьютерной программы. Не знаю, поняли ли Вы его ответ; он тоже в основном рецептурный.

Если же подойти к этой задаче "от печки" - начать с написания уравнений Ньютона для движения атомов в молекуле, вникнуть в актуальные для колебательного спектра частот степени свободы, и учесть симметрию молекулы, - то задача становится полезным для понимания физики примером. Она решается аналитически. (Одно из трёх актуальных собственных значений указанной Вами матрицы $F$ силовых постоянных у меня вычислилось ручкой на бумаге по явной формуле, два других - с калькулятором как корни квадратного уравнения :)

Ключевое здесь - представление о взаимно ортогональных "собственных векторах" матрицы $F.$ Этими "векторами" служат "нормальные моды" - это конфигурации колебаний атомов с определёнными частотами. Их вид выясняется в ходе решения уравнений Ньютона с учётом симметрии молекулы. Они являют собой пример базиса в пространстве колебательных состояний молекулы. Любое сложное колебательное движение молекулы (являющееся тоже решением уравнений Ньютона) представляется разложением по этому базису, т.е. имеет вид суперпозиции нормальных мод. Эти же "нормальные координаты" в квантовой задаче будут играть роль гармонических осцилляторов, гамильтонианом которых определяется спектр энергии колебательных состояний молекулы.

Всё это выводится шаг за шагом, последовательно. Однако на форум выписывать такие выкладки и пояснения к ним - всё равно что писать здесь целое учебное пособие. Об этой физике с математикой всё давно напечатано в учебниках, и лекторы объясняют всё это на лекциях в ВУЗах.

В ЛЛ-1 формулировка и решение этой классической задачи (даже чуть более общей - о спектре частот молекулы типа АВА) - дано в терминах механики Лагранжа в качестве задачи №2 в конце §24. С помощью уравнений Ньютона, как я уже пояснил, она решается тоже довольно легко.

[B3LYP]

Cos(x-pi/2), загляните пожалуйста в эту тему:

topic157781.html

[pppppppo_98]

B3LYP в сообщении #1646128 писал(а):

в каких конкретно примерах частицы будут запутаны, а в каких нет? Если

все вектора из базиса белла запутаны... ла и вообзе множест сепарабельных векторов имеет меру ноль, то есть любой произвольно выбранный ветор не представим в виде тензорного поищведения... а сепарабедьные ветора это в некоторм смысле упрощение в физике - их никогда на самом деле нет

[svv]

(pppppppo_98)

pppppppo_98 в сообщении #1646331 писал(а):

ла и вообзе множест
поищведения... а сепарабедьные ветора

pppppppo_98, Вам гипс сняли?

[pppppppo_98]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1646332 писал(а):

pppppppo_98, Вам гипс сняли?

сняли... но теперь обнаружили срастающийся перелом... один палец пока плохо работает