2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Синус 10 градусов
Сообщение11.07.2024, 17:52 


11/07/24
3
Здравствуйте.

Прощу прощения, если такой вопрос уже поднимался на форуме. Пробовал искать, но не нашел.

Начал читать книгу «Тригонометрия» И.М. Гельфанд, С.М. Львовский, А.Л. Тоом (МЦНМО).
Ссылка: https://old.mccme.ru//free-books//lvovski/trig.pdf

В первой главе, где вводится понятие синуса через прямоугольный треугольник предлагается задача, в которой требуется найти приближенное (до двух знаков после запятой) значение синуса угла 10 градусов.
Пробовал искать через треугольники, но не вышло. В сети пишут про синус тройного угла, разложение в ряд Тейлора.
Но, насколько понимаю, в контексте первой главы книги использование таких приемом для решения задачи не требуется.
Подскажите, пожалуйста, в каком направлении искать решение.

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение11.07.2024, 18:06 


21/12/16
721
регулярный метод решения таких задач -- формула Тейлора

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение11.07.2024, 18:17 


11/07/24
3
drzewo в сообщении #1646033 писал(а):
регулярный метод решения таких задач -- формула Тейлора


Спасибо за ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение11.07.2024, 18:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
Для малых углов верно приближённое равенство $\sin (\alpha /3 ) \approx (\sin \alpha) /3$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение11.07.2024, 18:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
Из $\sin(30) = 1/2$ (геометрически) получаем $\sin(10) > 1/6$
Из $\sin(10) < \pi/18$ тоже что-то получаем

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение11.07.2024, 19:09 


03/06/12
2862
alex_kuk в сообщении #1646031 писал(а):
Пробовал искать через треугольники, но не вышло.

Что не вышло? Построить на компе, в той же пресловутой Геогебое прямоугольный треугольник с острым углом 10 градусов?
Какой Тейлор, какие малые углы, если
alex_kuk в сообщении #1646031 писал(а):
вводится понятие синуса через прямоугольный треугольник предлагается

Это и методически неверно сейчас направлять в эту сторону. Авторами-то предполагается, что читатель в результате выполнения даваемых ими заданий получит представлении о вычислении этого всего в своем первозданном, естественном, виде, а тут Тейлором по голове... Эх, мне бы имеющиеся сейчас возможности копания в этом во всем да в 7-ом классе

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение11.07.2024, 19:13 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
А вы просто бросьте читать эту книжку, ибо она плохая. Также как и Гельфанд, Шень, Алгебра. Читайте обычные школьные учебники, как то Мордковича (профильного !) и Атанасяна.

То, что в этой книжке дали задачу, которую, конечно, с теми средствами решить нельзя --- это и есть доказательство ее плохости. И дальше там таких много будет.

-- 11.07.2024, 18:16 --

Если же в принципе хочется чего-то более продвинутого, чем школьная математика --- это предмет отдельного разговора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение11.07.2024, 19:20 


03/06/12
2862
Цитата:
... для учащихся 10 классов общеобразовательных учреждений

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение11.07.2024, 20:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Насколько я понял смысл задачи, он не в вычислении синуса, а в сравнении его значения с радианной мерой угла. И значение синуса на этот момент достаточно взять из таблицы или из калькулятора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение11.07.2024, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
На самом деле, для той точности что требуется, работает метод, предложенный TOTAL...

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение11.07.2024, 20:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
TOTAL в сообщении #1646036 писал(а):
Из $\sin(10) < \pi/18$
Это следующая задача, так что пока что мы этого не знаем.

Вообще на этот момент мы не знаем о синусах почти ничего, так что видимо да, "найдите значение" означает "найдите в таблице".
(либо возьмите транспортир и линейку)

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение11.07.2024, 20:55 


27/10/23
78
Sinoid в сообщении #1646044 писал(а):
Цитата:
... для учащихся 10 классов общеобразовательных учреждений

Как я понимаю, учащиеся сегодня программировать умеют. По этому поводу я хотел бы предложить метод который мне иногда помогает при изучении физики - числовое решение. Формула синуса тройного угла дает уравнение третьей степени которое я решаю так:

Код:
#include <iomanip>
#include <iostream>

int main()
{
    double x = 0;
    while (8 * x * x * x - 6 * x + 1 > 0) x += 0.001;

    std::cout << "x = " << std::fixed << std::setprecision(2) << x << '\n';
}

Кстати, именно таким методом я решил задачу про посылку сообщений под горизонт - задачу, которая непонятно куда подевалась. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение11.07.2024, 20:57 


21/12/16
721

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1646043 писал(а):
А вы просто бросьте читать эту книжку, ибо она плохая. Также как и Гельфанд, Шень, Алгебра

Как таки вам не стыдно. МЦНМО и ВШЭ – это ж , можно сказать, самое лучшее, что было в российском образовании за всю его историю. А Шень и вовсе самый великий из всех самых ведиких математиков и педагогов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение11.07.2024, 21:34 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
А по-моему шикарная задача на оценочные вычисления.

Изображение

$$|OA|=|OA'|=1,\quad\angle AOB=10^\circ,\quad\sin10^\circ=|AB|<|_\smile AA'|=\frac{\pi}{180^\circ}\;\cdot\;10^\circ=\frac{\pi}{18}\approx 0,1745$$ $$|OB|=|OB'|=\cos10^\circ>\sqrt{1-\left(\frac{\pi}{18}\right)^2},\quad|_\smile BB'|=\frac{\pi}{18}\cos10^\circ>\frac{\pi}{18}\sqrt{1-\left(\frac{\pi}{18}\right)^2}\approx 0,1719$$ $$0,1719<|_\smile BB'|<|AB|=\sin10^\circ<|_\smile AA'|<0,1745$$ Две значащие цифры поймались. (Обратите внимание: для косинуса знак поменялся из-за минуса под корнем). Нужны только базовые школьные знания и магазинный калькулятор для удобства вычислений (корень вручную муторно считать, хотя хороший способ в столбик типа деления существует). Если что, то точное значение: $$\sin10^\circ\approx0,17364817766693034885171662676931\ldots$$ Можно попытаться покрутить синус 5 градусов этим же методом, а потом через формулу двойного угла получить чуть более точную оценку синуса 10-и. Может даже 3-я цифра поймается.

Историческая справка. Если верить вики, первые таблицы синусов были у индийских математиков ещё в 5-6 веке в зависимости от величины шага. Я не знаю, как они их составляли, но ряд Тейлора и его аналоги появились только девять и более веков спустя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение11.07.2024, 22:14 


11/07/24
3
Благодарю за ответы! В сторону радианной меры думал, но не додумался, что ее можно использовать как границу сверху для поиска приблизительного значения.

vpb в сообщении #1646043 писал(а):
А вы просто бросьте читать эту книжку, ибо она плохая. Также как и Гельфанд, Шень, Алгебра. Читайте обычные школьные учебники, как то Мордковича (профильного !) и Атанасяна.

То, что в этой книжке дали задачу, которую, конечно, с теми средствами решить нельзя --- это и есть доказательство ее плохости. И дальше там таких много будет.

-- 11.07.2024, 18:16 --

Если же в принципе хочется чего-то более продвинутого, чем школьная математика --- это предмет отдельного разговора.


Хотел просто вспомнить школьный курс. Думал, что подобные книги оптимальны. Кстати, по алгебре как раз указанную книгу тоже читаю :).
Но видимо Вы правы и лучше учебники почитать, порешать задачи из них. Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group