ЗБЧ Хинчина

[meshok]

Доброго времени суток!
В книге Ширяева А.Н. Вероятность 1, в главе 3 $\S 1$, есть задача 15.
15. Доказать следующую версию закона больших чисел (Хинчин): пусть $X_1,X_2,\ldots$ --- попарно независимые одинаково распределенные случайные величины с конечным средним $EX_1=m$ и $S_n=X_1+\ldots+X_n$, тогда $S_n/n\stackrel{P}{\to} m$.
Эта задача идет в параграфе про слабую сходимость мер, причем про эквивалентность слабой сходимости и сходимости соответствующих х.ф. еще неизвестно (причем поскольку СВ лишь попарно независимы сложно увидеть, как эта эвкивалентность могла помочь).
Известна только теорема Александрова и эквивалетность слабой сходимости мер сходимости функций распределения в точках непрерывности.
Мне удается, как кажется, увидеть только первый шаг, который предполагается в решени: поскольку сходимость по распределение к константе влечет и сходимость по вероятности к константе,
то вместо доказательства $S_n/n\stackrel{P}{\to} m$ нужно доказать $F_{S_n/n}(x)\to F_m(x) при $n\to\infty$ для всех $x$ кроме точки $m$, где $F_{\cdot}$ --- соответствующие функции распределения.
Далее нужно применить эквивалетность слабой сходимости мер сходимости функций распределения в точках непрерывности, а затем теорему Александрова.
Второй шаг уже не получается увидеть. В каком виде доказывать слабую сходимость: через ограниченные непрерывные функции или через множества, граница которых имеет меру нуль.
Может кто-нибудь знает, где можно посмотреть решение этой задачи?

[Combat Zone]

Неравенство Чебышева.

[meshok]

Вы имеете в виду сделать срезку наших СВ, чтобы они стали ограниченными (чтобы был конечен второй момент), потом применить неравенство Чебышева и доказать для ограниченных?
Я так делал, но потом чтобы обратно вернуться к неограниченным, нужно доказать некоторые дополнительные утверждения, которые обычной теоремой Лебега о мажорируемой сходимости не берутся.

[Combat Zone]

Не, стоп. А второго момента нет? Тогда, конечно, никакого Чебышева. Пойду-ка я посмотрю на Ширяева, отродясь в Хинчине была независимость в совокупности.

-- 09.07.2024, 10:11 --

meshok в сообщении #1645788 писал(а):

В книге Ширяева А.Н. Вероятность 1, в главе 3 $\S 1$, есть задача 15.

А какой год издания?
У меня Ширяев 3 глава 1-й параграф "Сходимость вероятностных мер", и задач там сильно меньше 15.
Причем про свойства х.ф. к этому моменту уже все известно.

[meshok]

6 издание, 2017-ый год. Да, про свойства известно, но про связь со слабой сходимостью будет через один параграф.

[Combat Zone]

Нет, все-таки Чебышев. Надо же, сегодня день открытий. https://link.springer.com/article/10.1007/BF01013465