2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 ЗБЧ Хинчина
Сообщение09.07.2024, 09:49 


05/03/18
55
Доброго времени суток!
В книге Ширяева А.Н. Вероятность 1, в главе 3 $\S 1$, есть задача 15.
15. Доказать следующую версию закона больших чисел (Хинчин): пусть $X_1,X_2,\ldots$ --- попарно независимые одинаково распределенные случайные величины с конечным средним $EX_1=m$ и $S_n=X_1+\ldots+X_n$, тогда $S_n/n\stackrel{P}{\to} m$.
Эта задача идет в параграфе про слабую сходимость мер, причем про эквивалентность слабой сходимости и сходимости соответствующих х.ф. еще неизвестно (причем поскольку СВ лишь попарно независимы сложно увидеть, как эта эвкивалентность могла помочь).
Известна только теорема Александрова и эквивалетность слабой сходимости мер сходимости функций распределения в точках непрерывности.
Мне удается, как кажется, увидеть только первый шаг, который предполагается в решени: поскольку сходимость по распределение к константе влечет и сходимость по вероятности к константе,
то вместо доказательства $S_n/n\stackrel{P}{\to} m$ нужно доказать $F_{S_n/n}(x)\to F_m(x) при $n\to\infty$ для всех $x$ кроме точки $m$, где $F_{\cdot}$ --- соответствующие функции распределения.
Далее нужно применить эквивалетность слабой сходимости мер сходимости функций распределения в точках непрерывности, а затем теорему Александрова.
Второй шаг уже не получается увидеть. В каком виде доказывать слабую сходимость: через ограниченные непрерывные функции или через множества, граница которых имеет меру нуль.
Может кто-нибудь знает, где можно посмотреть решение этой задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЗБЧ Хинчина
Сообщение09.07.2024, 10:28 
Аватара пользователя


22/11/22
621
Неравенство Чебышева.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЗБЧ Хинчина
Сообщение09.07.2024, 10:36 


05/03/18
55
Вы имеете в виду сделать срезку наших СВ, чтобы они стали ограниченными (чтобы был конечен второй момент), потом применить неравенство Чебышева и доказать для ограниченных?
Я так делал, но потом чтобы обратно вернуться к неограниченным, нужно доказать некоторые дополнительные утверждения, которые обычной теоремой Лебега о мажорируемой сходимости не берутся.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЗБЧ Хинчина
Сообщение09.07.2024, 10:53 
Аватара пользователя


22/11/22
621
Не, стоп. А второго момента нет? Тогда, конечно, никакого Чебышева. Пойду-ка я посмотрю на Ширяева, отродясь в Хинчине была независимость в совокупности.

-- 09.07.2024, 10:11 --

meshok в сообщении #1645788 писал(а):
В книге Ширяева А.Н. Вероятность 1, в главе 3 $\S 1$, есть задача 15.

А какой год издания?
У меня Ширяев 3 глава 1-й параграф "Сходимость вероятностных мер", и задач там сильно меньше 15.
Причем про свойства х.ф. к этому моменту уже все известно.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЗБЧ Хинчина
Сообщение09.07.2024, 12:21 


05/03/18
55
6 издание, 2017-ый год. Да, про свойства известно, но про связь со слабой сходимостью будет через один параграф.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЗБЧ Хинчина
Сообщение09.07.2024, 18:29 
Аватара пользователя


22/11/22
621
Нет, все-таки Чебышев. Надо же, сегодня день открытий. https://link.springer.com/article/10.1007/BF01013465

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj, Ivan 09


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group