Доброго времени суток!
В книге Ширяева А.Н. Вероятность 1, в главе 3
, есть задача 15.
15. Доказать следующую версию закона больших чисел (Хинчин): пусть
---
попарно независимые одинаково распределенные случайные величины с конечным средним
и
, тогда
.
Эта задача идет в параграфе про слабую сходимость мер, причем про эквивалентность слабой сходимости и сходимости соответствующих х.ф. еще неизвестно (причем поскольку СВ лишь
попарно независимы сложно увидеть, как эта эвкивалентность могла помочь).
Известна только теорема Александрова и эквивалетность слабой сходимости мер сходимости функций распределения в точках непрерывности.
Мне удается, как кажется, увидеть только первый шаг, который предполагается в решени: поскольку сходимость по распределение к константе влечет и сходимость по вероятности к константе,
то вместо доказательства
нужно доказать
при
для всех
кроме точки
, где
--- соответствующие функции распределения.
Далее нужно применить эквивалетность слабой сходимости мер сходимости функций распределения в точках непрерывности, а затем теорему Александрова.
Второй шаг уже не получается увидеть. В каком виде доказывать слабую сходимость: через ограниченные непрерывные функции или через множества, граница которых имеет меру нуль.
Может кто-нибудь знает, где можно посмотреть решение этой задачи?