Задача на время разгона частицы

[LILILILILI]

Здравствуйте! Мне предложили решить задачку на нахождение времени разгона частицы, хотелось бы узнать как ее решать как школьными методами (минимум матанализа), так и более продвинутыми способами.

Цитата:

Частица массы $m_0$ разгоняется на пути $L$ постоянной силой $F$ до энергии $E$. Найти время разгона. Кинетическая энергия частицы $T=E-m_0c^2$ может быть не мала по сравнению с энергией покоя.

Я попробовал ее решить: выразил работу как разность конечной энергии и энергии покоя, а также как сила на перемещение и на косинус (принял его за единицу). Затем представил силу как производную импульса по времени и приравнял выражения, откуда получил:

$$m_0 L \frac {d(\gamma u)} {\Delta E} = dt$$

И далее получил: $t = \frac L {c^2} \int \frac 1 {\gamma - 1} d(\gamma u)$, где $\gamma = \frac 1 {\sqrt{1 - u^2/c^2}}$. Дальше, как мне кажется, нужно проинтегрировать обе части уравнения и получить выражение для t, но как решать такие интегралы - пока не знаю.

Подскажите, пожалуйста, правильно ли мое решение и как продолжить решение, если оно правильное, а если неправильное - где я ошибся. А так же подскажите, пожалуйста, какие еще есть способы решить данную задачу. На ум приходит только использование выражения энергии через импульс и массу, использование той же работы и представление силы как обычное отношение импульса ко времени (не производная).

[Утундрий]

Релятивистское равноускоренное движение

Если, конечно, под "разгоном постоянной силой тела постоянной массы" понимать постоянство собственного ускорения.

[мат-ламер]

LILILILILI
Разрешите я добавлю сюда из вашей темы в "Свободном полёте" свои комментарии:

мат-ламер в сообщении #1645323 писал(а):

Для решения этой задачи нужно знать, что такое импульс частицы и как изменяется этот импульс под действием силы. Нужно знать, что такое энергия и как изменяется эта энергия под действием некоей силы. Главное, нужно знать, как связаны энергия и импульс частицы. Эту формулу вы вряд ли помните на память. Даю подсказку. Она есть и в школьном учебнике Мякишева и в лекциях Фейнмана (вы недавно ими интересовались). Попробуйте связать эти формулы вместе и выложить сюда хотя-бы какие-нибудь свои размышления.

Я решал эту задачу совсем элементарными методами без всяких интегралов и дифференциалов. Обратите внимание, что сила, которая действует на частицу, на всём протяжении пути постоянна. Это не означает постоянство ускорения частицы. И ещё добавлю, что в своих комметнтариях я не разу не упомянул термин "скорость". В своём решении я это понятие не использовал. Каким путём идти - решать вам. Если кто-то вам поможет идти вашим путём - очень хорошо. Если захотите опираться на мои подсказки - я вам всегда рад помочь.

-- Сб июл 06, 2024 19:51:21 --

Утундрий в сообщении #1645401 писал(а):

Релятивистское равноускоренное движение

Если, конечно, под "разгоном постоянной силой тела постоянной массы" понимать постоянство собственного ускорения.

Это не в тему.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: в профильный раздел.

[мат-ламер]

Поясню. Постоянство силы в условии задачи подразумевает постоянство силы в лабораторной ИСО.

[Утундрий]

LILILILILI
Советую не слишком серьёзно относиться к тому, что пишет мат-ламер.

-- Сб июл 06, 2024 21:04:36 --

мат-ламер в сообщении #1645410 писал(а):

Поясню. Постоянство силы в условии задачи подразумевает постоянство силы в лабораторной ИСО.

Мде? И шо помешало добавить это ценное уточнение непосредственно в условие задачи?

[мат-ламер]

Утундрий в сообщении #1645411 писал(а):

Мде? И шо помешало добавить это ценное уточнение непосредственно в условие задачи?

Условие задачи было скопировано дословно с первоисточника, коим являлась соответствующая тема на форуме, которая обсуждалась несколько лет назад в олимпиадном разделе. Никто из участников обсуждения дополнительного уточнения не потребовал. Поэтому я решил, что и так всё ясно. Приношу извинения.

[LILILILILI]

мат-ламер в сообщении #1645404 писал(а):

В своём решении

Скажите, пожалуйста, какое у Вас было решение? Представление импульса через силу и время, а затем подстановка импульса в формулу $E^2 = m^2c^4 + p^2c^2$, откуда можно выразить время?

Утундрий в сообщении #1645401 писал(а):

Релятивистское равноускоренное движение

Если, конечно, под "разгоном постоянной силой тела постоянной массы" понимать постоянство собственного ускорения.

Мне кажется, что я немного запутался. Как можно выразить скорость через известные переменные? Из-за $\gamma$ в уравнениях присутствуют скорости.

[мат-ламер]

LILILILILI в сообщении #1645421 писал(а):

Скажите, пожалуйста, какое у Вас было решение? Представление импульса через силу и время, а затем подстановка импульса в формулу $E^2 = m^2c^4 + p^2c^2$, откуда можно выразить время?

1. Вычисляете кинетическую и полную энергию частицы в конце траектории. Интеграл тут не нужен.
2. По найденной энергии находите с помощью вашей выписанной формулы импульс частицы в конце движения.
3. Исходя из импульса и силы находите время разгона.

(Оффтоп)

Я пока выйду из темы. На дальнейшие вопросы отвечу завтра.

[Mihr]

Хотелось бы видеть ссылку на источник задачи. Для уточнения условия. Его можно понимать по-разному.
1. Если предположить, что начальная скорость частицы равна нулю, то величины $L, F, E, m_0$ нельзя задать независимо друг от друга. Тогда условия задачи выглядят избыточно.
И, кстати, в этом случае наиболее рациональным подходом к решению является следующий:

LILILILILI в сообщении #1645399 писал(а):

представление силы как обычное отношение импульса ко времени (не производная).

Никакие интегралы здесь становятся не нужны.
2. Если считать, что начальная скорость частицы всё же отлична от нуля, то необходимо было задать угол между векторами начальной скорости и силы. Задача становится очень сложной и явно не школьной (должно использоваться выражение для длины кривой в виде интеграла).
3. Если дополнительно предположить, что векторы силы и начальной скорости коллинеарны, то задача вновь становится доступной для школьника. Но такие оговорки (о коллинеарности векторов) в условиях задач пропускать, вроде бы, не принято.
В общем, хотелось бы видеть точное условие задачи.

А если эта задача раньше обсуждалась на форуме, кто может, дайте ссылку на её обсуждение.

[LILILILILI]

Mihr в сообщении #1645451 писал(а):

А если эта задача раньше обсуждалась на форуме, кто может, дайте ссылку на её обсуждение.

Вот ссылка на обсуждение. Задачу там уже решали, но мне хотелось понять правильны ли мои рассуждения и узнать каким способом по итогу следовало бы решать.

[Mihr]

LILILILILI, да, там действительно другое условие. Просто сказано, что сила постоянна, но величина силы не задана.

[LILILILILI]

Mihr в сообщении #1645461 писал(а):

LILILILILI, да, там действительно другое условие. Просто сказано, что сила постоянна, но величина силы не задана.

В таком случае извиняюсь, сделал глупость. Написал 'F', чтобы показать какой буквой я буду обозначать силу, и не подумал, что таким образом показываю, что дана ее величина.

[Mihr]

Давайте наметим решение, исходя из Вашего предложения

LILILILILI в сообщении #1645399 писал(а):

представление силы как обычное отношение импульса ко времени (не производная)

Итак, $F=\dfrac{p}{t}$. С другой стороны, $F=\dfrac{T}{L}$ (кинетическая энергия частицы равна работе постоянной силы, если начальная скорость частицы неулевая). Таким образом, получаем равенство (пропорцию)

$\dfrac{p}{t}=\dfrac{T}{L}$

Отсюда легко выразить время движения:

$t=\dfrac{pL}{T}$

Импульс частицы выразим из релятивистского соотношения между энергией и импульсом $E^2=p^2c^2+m^2c^4$. Из него получаем

$p=\sqrt{\dfrac{E^2}{c^2}-m^2c^2}$

Кинетическая энергия равна

$T=E-mc^2$

Подставьте две последние формулы в выражение для времени движения и упростите то, что получится. Результат получается без интегралов.

Если хотите, можем решить и с интегралами. Но потребуются некоторые навыки интегрирования. Поскольку, как я понимаю, интеграл получается не табличным.

[LILILILILI]

Спасибо за решение!

Mihr в сообщении #1645467 писал(а):

Если хотите, можем решить и с интегралами. Но потребуются некоторые навыки интегрирования. Поскольку, как я понимаю, интеграл получается не табличным.

Я, честно говоря, хотел бы узнать как будет выглядить такое решение. Я же правильно понимаю, что в данном случае уже прийдется использовать коэффицент $\gamma$ под знаком дифференциала (после раскрытия $dp$ в $F = \frac {dp} {dt}$) и в энергии движущегося тела, а значит и скорость (включая скорость в формуле для импульса)? И по итогу все сведется к дифференциальному уравнению первого порядка? Или я в чем-то заблуждаюсь?