Задача "Вася и тараканы"

[sirvff]

Вы в центре круга радиуса 1. Ещё в круге $N$ тараканов.
В начальный момент времени включается свет и тараканы убегают.
Скорость любого таракана не более $v$, ваша максимальная скорость $2v$. ускорения мгновенны.

1. Докажите, что для любого R найдётся такое $N$ и такой способ убегать тараканам, что невозможно их всех переловить в круге радиуса $R$
2. Чему равно $R_\min (N)$ - минимальное значение радиуса в котором поймать $N$ тараканов можно в любом случае?

3. Изменится ли ответ на п 1, если вы -- не точка, а круг радиуса $0<r<1$?

[eugensk]

sirvff в сообщении #1644798 писал(а):

Ещё в круге N тараканов.

Если они изначально в центре, то сразу пойманы, если на границе, сразу убегут. Чего-то не хватает.

[sergey zhukov]

sirvff
Да, что-то в условии не хватает.

[мат-ламер]

sergey zhukov в сообщении #1644832 писал(а):

Да, что-то в условии не хватает.

$

[Geen]

eugensk в сообщении #1644821 писал(а):

если на границе, сразу убегут

Так радиус начальной окружности 1...

[Ende]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- даже отдельные обозначения нужно набирать как формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: не указана.

[sirvff]

Нет, ну, в задаче всё-таки всего хватает.

Тут имеется в виду, что тараканы могут быть расставлены как угодно изначально (в пределах круга радиуса 1) и убегать затем тоже по любым траекториям.
Имеется в виду худший случай - то есть при каком радиусе мы гарантированно переловим всех тараканов, не удаляясь от стартовой точки далее чем на этот радиус в процессе поимки.
(вне зависимости от начальной расстановки и поведения тараканов - считаем, что они играют против нас)

Скажем, для 2 тараканов, изначально стоящих на концах какого-то диаметра: первого ловим на расстоянии 2. Потом второго на расстоянии 2+4 от стартовой точки - это если они стоят по диаметру на крае круга, это максимум. то есть при $R>8$ поймать 2 тараканов можно, как бы они не располагались изначально.

[Geen]

sirvff в сообщении #1644896 писал(а):

то есть при $R>8$ поймать 2 тараканов можно

$R>6$

[sergey zhukov]

sirvff
А, ну понятно. Тут два круга. Один, внутри которого тараканы изначально как-то располагаются (радиуса 1). А второй - это максимальное расстояние, на которое нам придется удалится от центра, чтобы их всех поймать (R).

[мат-ламер]

sirvff
У меня тут есть некие предварительные мысли. Подскажите хотя бы, туда ли я думаю и правильно ли я понял условие? Пусть в начале тараканы расположены равномерно на границе единичного круга. Догоняющий выбирает какого-то одного таракана и бежит за ним. Этот таракан чувствует, что погоня идёт непосредственно за ним и бежит прямо от догоняющего. Два таракана, которые были вначале близко от первого таракана, чувствуют, что кто-нибудь из них будет второй жертвой. Они бегут так, чтобы в момент поимки первого таракана находиться от него максимально далеко. Как бегут остальные тараканы, пока не ясно. По крайней мере, они бегут так, чтобы не стать вторыми. После того, как первого таракана догнали, повторяется то же самое рекурсивно. Догоняющий бежит за одним из ближайших тараканов. Тот бежит от него и т.д. В результате мы получаем бесконечный ряд из времён догоняний очередных тараканов. Надо доказать его расходимость.

[Sender]

Допустим, имеется $N=(n+1)^2$ тараканов (далее точек), изначально размещённых в узлах квадратной сетки в квадрате, вписанном в исходную единичную окружность. Сторона этого квадрата $a=\sqrt{2}$. Расстояние между ближайшими точками $l = \frac{a}{n}$. Допустим теперь, что они движутся с максимально возможной скоростью по своим радиусам, удаляясь от центра. Легко показать, что при этом расстояние между двумя любыми точками не уменьшается, значит, время, требуемое для обхода всех точек, не меньше $\frac{l(N-1)}{2v}=\frac{n+2}{\sqrt{2}v}$. За это время последняя точка успеет удалиться от центра не менее, чем на $\frac{n+2}{\sqrt{2}}$. Очевидно, увеличивая $n$, это расстояние можно сделать сколь угодно большим.

-- Ср июл 03, 2024 14:20:30 --

мат-ламер в сообщении #1644913 писал(а):

Подскажите хотя бы, туда ли я думаю и правильно ли я понял условие?

Я бы сказал, тараканы обладают роевым разумом и располагаются и действуют так, чтобы дать возможность хотя бы одному из своих прорвать защитный периметр.

-- Ср июл 03, 2024 14:43:00 --

Поправка: теоретически может оказаться так, что при переходе от очередной точки к следующей Вася и точка движутся ровно навстречу друг другу, т.е. время перехода от одной точки до другой в общем случае не меньше $\frac{l}{3v}$. Соответственно, последняя оценка радиуса сокращается в полтора раза, $R=\frac{\sqrt{2}}{3}(n+2)$.

[sirvff]

Geen в сообщении #1644901 писал(а):

sirvff в сообщении #1644896 писал(а):

то есть при $R>8$ поймать 2 тараканов можно

$R>6$

да, вы правы

мат-ламер в сообщении #1644913 писал(а):

sirvff
У меня тут есть некие предварительные мысли. Подскажите хотя бы, туда ли я думаю и правильно ли я понял условие? Пусть в начале тараканы расположены равномерно на границе единичного круга. Догоняющий выбирает какого-то одного таракана и бежит за ним. Этот таракан чувствует, что погоня идёт непосредственно за ним и бежит прямо от догоняющего. Два таракана, которые были вначале близко от первого таракана, чувствуют, что кто-нибудь из них будет второй жертвой. Они бегут так, чтобы в момент поимки первого таракана находиться от него максимально далеко. Как бегут остальные тараканы, пока не ясно. По крайней мере, они бегут так, чтобы не стать вторыми. После того, как первого таракана догнали, повторяется то же самое рекурсивно. Догоняющий бежит за одним из ближайших тараканов. Тот бежит от него и т.д. В результате мы получаем бесконечный ряд из времён догоняний очередных тараканов. Надо доказать его расходимость.

Нууу, грубо говоря так. Надо придумать, в 1 пункте, какую-то тактику тараканью и число $N$, которое позволит убежать хотя бы одному далее чем R(N)

Я эту задачу вчера придумал. Официальных решений-то нет.

Кстати, Вася - это кот.

Sender

да, всё так. впрочем, всем тараканам достаточно двигаться вправо, для решения п.1. Причём
если тараканы скажем стоят на границе и бегут (всегда) по радиус-вектору от стартовой точки, то ответ конечен при любом числе тараканов.

но, кажется, любое конечное r>0 всё портит?

[sirvff]

я предполагаю что при любом r>0 это уже ограничено

[Sender]

Ну почему же? Грубо говоря, если тараканы расползаются во все стороны от центра круга, при этом оставляя его внутренность более-менее равномерно заполненной, площадь разрастающегося заполненного тараканами круга будет расти квадратично со временем, а заметаемая Васей площадь -- линейно.