Допустим, имеется
![$N=(n+1)^2$ $N=(n+1)^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/7/0c7b70563e466a5ac823d17d986e152d82.png)
тараканов (далее точек), изначально размещённых в узлах квадратной сетки в квадрате, вписанном в исходную единичную окружность. Сторона этого квадрата
![$a=\sqrt{2}$ $a=\sqrt{2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/b/f6bc007ee1b7681fb5e206e82731de5982.png)
. Расстояние между ближайшими точками
![$l = \frac{a}{n}$ $l = \frac{a}{n}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/b/eab9346ec61920a63fa33cda64f2dca182.png)
. Допустим теперь, что они движутся с максимально возможной скоростью по своим радиусам, удаляясь от центра. Легко показать, что при этом расстояние между двумя любыми точками не уменьшается, значит, время, требуемое для обхода всех точек, не меньше
![$\frac{l(N-1)}{2v}=\frac{n+2}{\sqrt{2}v}$ $\frac{l(N-1)}{2v}=\frac{n+2}{\sqrt{2}v}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/8/c68e9b7e92e88210eb62204ce82c8e3682.png)
. За это время последняя точка успеет удалиться от центра не менее, чем на
![$\frac{n+2}{\sqrt{2}}$ $\frac{n+2}{\sqrt{2}}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/7/8f79145e0477b24bb7a2de8f64ea268b82.png)
. Очевидно, увеличивая
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, это расстояние можно сделать сколь угодно большим.
-- Ср июл 03, 2024 14:20:30 --Подскажите хотя бы, туда ли я думаю и правильно ли я понял условие?
Я бы сказал, тараканы обладают роевым разумом и располагаются и действуют так, чтобы дать возможность хотя бы одному из своих прорвать защитный периметр.
-- Ср июл 03, 2024 14:43:00 --Поправка: теоретически может оказаться так, что при переходе от очередной точки к следующей Вася и точка движутся ровно навстречу друг другу, т.е. время перехода от одной точки до другой в общем случае не меньше
![$\frac{l}{3v}$ $\frac{l}{3v}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/6/ad6e171f9e827bc8a7246037faa4dc2a82.png)
. Соответственно, последняя оценка радиуса сокращается в полтора раза,
![$R=\frac{\sqrt{2}}{3}(n+2)$ $R=\frac{\sqrt{2}}{3}(n+2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/8/4b8ba648eaee5b0d241ff86c9263dce582.png)
.