2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Равномерная сходимость интеграла
Сообщение01.07.2024, 17:43 


11/05/24
21
Привет! Помогите пожалуйста разобраться с такой задачкой: Сходится ли интеграл равномерно на $[-1; 1)$? $$\int\limits_{1}^{2} \frac{1}{(x-a)^\alpha} dx$$
Я так понимаю это несобственный интеграл с особенностью в точке $x = 1$. Для равномерной сходимости необходимо, чтобы предел $$\lim\limits_{a \to 1}^{} \int\limits_{1}^{a} \frac{1}{(x-1)^\alpha} dx = 0 \quad \forall  \alpha $$ Я вообще правильно рассуждаю или тут какая-то другая идея?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость интеграла
Сообщение01.07.2024, 18:25 
Заслуженный участник


12/08/10
1676
У вас 2 параметра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость интеграла
Сообщение01.07.2024, 20:45 


11/05/24
21
Null в сообщении #1644630 писал(а):
У вас 2 параметра.

Блин, ошибся, там нет параметра а, просто икс минус один в знаменателе, вот так:
$$\int\limits_{1}^{2} \frac{1}{(x-1)^\alpha} dx$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость интеграла
Сообщение02.07.2024, 00:58 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
Используйте критерий Коши равномерной сходимости интеграла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость интеграла
Сообщение02.07.2024, 04:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Vavilen
Интеграл расходится при $\alpha=1$, поэтому в этом случае можно записать отрицание критерия Коши. Далее, если воспользоваться непрерывностью по параметру интеграла по промежутку, отделённому от единицы, получается отрицание критерия Коши равномерной сходимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость интеграла
Сообщение02.07.2024, 10:53 


11/05/24
21
Padawan в сообщении #1644648 писал(а):
Используйте критерий Коши равномерной сходимости интеграла.

thething в сообщении #1644656 писал(а):
Vavilen
Интеграл расходится при $\alpha=1$, поэтому в этом случае можно записать отрицание критерия Коши. Далее, если воспользоваться непрерывностью по параметру интеграла по промежутку, отделённому от единицы, получается отрицание критерия Коши равномерной сходимости.

Проделал такие выкладки - отрицание критерия Коши:
$\exists \; \varepsilon>0 : \forall 1<t<2 \, \exists \xi \leqslant t \, \exists \alpha_0 \in [-1,0) : \int\limits_{1}^{\xi}\frac{1}{(x-1)^\alpha}dx \geqslant \xi $
$$\int\limits_{1}^{\xi}\frac{1}{(x-1)^\alpha}dx = \frac{(\xi - 1)^{1 - \alpha_0}}{1 - \alpha_0}$$
Тогда если взять
$\alpha_0 = 2 - t, \xi = t \Rightarrow \frac{(\xi - 1)^{1 - \alpha_0}}{1 - \alpha_0} = (t-1)^{t-2} > 1 \; \forall t\in (1;2) $

То есть нет равномерной сходимости на $[-1;1)$? Правильно понимаю, что при этом на $[-1;\frac{1}{2}]$ например интеграл сходится равномерно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group