Равномерная сходимость интеграла

[Vavilen]

Привет! Помогите пожалуйста разобраться с такой задачкой: Сходится ли интеграл равномерно на $[-1; 1)$?

$$\int\limits_{1}^{2} \frac{1}{(x-a)^\alpha} dx$$

Я так понимаю это несобственный интеграл с особенностью в точке $x = 1$. Для равномерной сходимости необходимо, чтобы предел

$$\lim\limits_{a \to 1}^{} \int\limits_{1}^{a} \frac{1}{(x-1)^\alpha} dx = 0 \quad \forall \alpha $$

Я вообще правильно рассуждаю или тут какая-то другая идея?

[Null]

У вас 2 параметра.

[Vavilen]

Null в сообщении #1644630 писал(а):

У вас 2 параметра.

Блин, ошибся, там нет параметра а, просто икс минус один в знаменателе, вот так:

$$\int\limits_{1}^{2} \frac{1}{(x-1)^\alpha} dx$$

[Padawan]

Используйте критерий Коши равномерной сходимости интеграла.

[thething]

Vavilen
Интеграл расходится при $\alpha=1$, поэтому в этом случае можно записать отрицание критерия Коши. Далее, если воспользоваться непрерывностью по параметру интеграла по промежутку, отделённому от единицы, получается отрицание критерия Коши равномерной сходимости.

[Vavilen]

Padawan в сообщении #1644648 писал(а):

Используйте критерий Коши равномерной сходимости интеграла.

thething в сообщении #1644656 писал(а):

Vavilen
Интеграл расходится при $\alpha=1$, поэтому в этом случае можно записать отрицание критерия Коши. Далее, если воспользоваться непрерывностью по параметру интеграла по промежутку, отделённому от единицы, получается отрицание критерия Коши равномерной сходимости.

Проделал такие выкладки - отрицание критерия Коши:
$\exists \; \varepsilon>0 : \forall 1<t<2 \, \exists \xi \leqslant t \, \exists \alpha_0 \in [-1,0) : \int\limits_{1}^{\xi}\frac{1}{(x-1)^\alpha}dx \geqslant \xi $

$$\int\limits_{1}^{\xi}\frac{1}{(x-1)^\alpha}dx = \frac{(\xi - 1)^{1 - \alpha_0}}{1 - \alpha_0}$$

Тогда если взять
$\alpha_0 = 2 - t, \xi = t \Rightarrow \frac{(\xi - 1)^{1 - \alpha_0}}{1 - \alpha_0} = (t-1)^{t-2} > 1 \; \forall t\in (1;2) $

То есть нет равномерной сходимости на $[-1;1)$? Правильно понимаю, что при этом на $[-1;\frac{1}{2}]$ например интеграл сходится равномерно?