2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачка по мат-анализу
Сообщение01.07.2024, 17:04 


11/05/24
21
Привет! Помогите разобраться с такой задачкой: верно ли, что $$(\int\limits_{a}^{b} f(x)\cdot dx)^2 = (b - a) \int\limits_{a}^{b} f^2(x) \cdot dx $$ , если f - интегрируема по Риману?

Правильно понимаю, что это не верно в общем случае? Потому что по сути это следствие Неравенства Коши — Буняковского, если за вторую функцию взять $g(x) = 1$? Но равенство там достигается не для всех $f(x)$, а только для $f(x) = g(x) = 1$ тоже?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по мат-анализу
Сообщение01.07.2024, 17:10 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
В неравенстве КБШ равенство $(\int_a^b f(x) g(x)\, dx)^2 = \int_a^b f(x)^2\, dx \cdot \int_a^b g(x)^2\, dx$ достигается тогда и только тогда, когда $f$, $g$ пропорциональны почти всюду. Если они непрерывны, то это значит, что $f(x) = \lambda g(x)$ для некоторого числа $\lambda$ или же $g(x) = 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по мат-анализу
Сообщение01.07.2024, 17:16 


11/05/24
21
Вообще что-то я усложнил наверное, можно же просто подставить $f(x) = x$ и понять, что это не выполняется.

-- 01.07.2024, 17:18 --

dgwuqtj в сообщении #1644624 писал(а):
В неравенстве КБШ равенство $(\int_a^b f(x) g(x)\, dx)^2 = \int_a^b f(x)^2\, dx \cdot \int_a^b g(x)^2\, dx$ достигается тогда и только тогда, когда $f$, $g$ пропорциональны почти всюду. Если они непрерывны, то это значит, что $f(x) = \lambda g(x)$ для некоторого числа $\lambda$ или же $g(x) = 0$.

Да действительно, можно было понять это из того как КБШ выводится, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по мат-анализу
Сообщение01.07.2024, 17:31 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Vavilen в сообщении #1644625 писал(а):
Да действительно, можно было понять это из того как КБШ выводится

Вообще у классических неравенств (о средних, Йенсена, Гёльдера, Минковского, ну и КБШ) есть простые критерии равенства, они часто полезны.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group