2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачка по мат-анализу
Сообщение01.07.2024, 17:04 


11/05/24
21
Привет! Помогите разобраться с такой задачкой: верно ли, что $$(\int\limits_{a}^{b} f(x)\cdot dx)^2 = (b - a) \int\limits_{a}^{b} f^2(x) \cdot dx $$ , если f - интегрируема по Риману?

Правильно понимаю, что это не верно в общем случае? Потому что по сути это следствие Неравенства Коши — Буняковского, если за вторую функцию взять $g(x) = 1$? Но равенство там достигается не для всех $f(x)$, а только для $f(x) = g(x) = 1$ тоже?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по мат-анализу
Сообщение01.07.2024, 17:10 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
В неравенстве КБШ равенство $(\int_a^b f(x) g(x)\, dx)^2 = \int_a^b f(x)^2\, dx \cdot \int_a^b g(x)^2\, dx$ достигается тогда и только тогда, когда $f$, $g$ пропорциональны почти всюду. Если они непрерывны, то это значит, что $f(x) = \lambda g(x)$ для некоторого числа $\lambda$ или же $g(x) = 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по мат-анализу
Сообщение01.07.2024, 17:16 


11/05/24
21
Вообще что-то я усложнил наверное, можно же просто подставить $f(x) = x$ и понять, что это не выполняется.

-- 01.07.2024, 17:18 --

dgwuqtj в сообщении #1644624 писал(а):
В неравенстве КБШ равенство $(\int_a^b f(x) g(x)\, dx)^2 = \int_a^b f(x)^2\, dx \cdot \int_a^b g(x)^2\, dx$ достигается тогда и только тогда, когда $f$, $g$ пропорциональны почти всюду. Если они непрерывны, то это значит, что $f(x) = \lambda g(x)$ для некоторого числа $\lambda$ или же $g(x) = 0$.

Да действительно, можно было понять это из того как КБШ выводится, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по мат-анализу
Сообщение01.07.2024, 17:31 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Vavilen в сообщении #1644625 писал(а):
Да действительно, можно было понять это из того как КБШ выводится

Вообще у классических неравенств (о средних, Йенсена, Гёльдера, Минковского, ну и КБШ) есть простые критерии равенства, они часто полезны.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group