Задачка по мат-анализу

[Vavilen]

Привет! Помогите разобраться с такой задачкой: верно ли, что

$$(\int\limits_{a}^{b} f(x)\cdot dx)^2 = (b - a) \int\limits_{a}^{b} f^2(x) \cdot dx $$

, если f - интегрируема по Риману?

Правильно понимаю, что это не верно в общем случае? Потому что по сути это следствие Неравенства Коши — Буняковского, если за вторую функцию взять $g(x) = 1$? Но равенство там достигается не для всех $f(x)$, а только для $f(x) = g(x) = 1$ тоже?

[dgwuqtj]

В неравенстве КБШ равенство $(\int_a^b f(x) g(x)\, dx)^2 = \int_a^b f(x)^2\, dx \cdot \int_a^b g(x)^2\, dx$ достигается тогда и только тогда, когда $f$, $g$ пропорциональны почти всюду. Если они непрерывны, то это значит, что $f(x) = \lambda g(x)$ для некоторого числа $\lambda$ или же $g(x) = 0$.

[Vavilen]

Вообще что-то я усложнил наверное, можно же просто подставить $f(x) = x$ и понять, что это не выполняется.

-- 01.07.2024, 17:18 --

dgwuqtj в сообщении #1644624 писал(а):

В неравенстве КБШ равенство $(\int_a^b f(x) g(x)\, dx)^2 = \int_a^b f(x)^2\, dx \cdot \int_a^b g(x)^2\, dx$ достигается тогда и только тогда, когда $f$, $g$ пропорциональны почти всюду. Если они непрерывны, то это значит, что $f(x) = \lambda g(x)$ для некоторого числа $\lambda$ или же $g(x) = 0$.

Да действительно, можно было понять это из того как КБШ выводится, спасибо!

[dgwuqtj]

Vavilen в сообщении #1644625 писал(а):

Да действительно, можно было понять это из того как КБШ выводится

Вообще у классических неравенств (о средних, Йенсена, Гёльдера, Минковского, ну и КБШ) есть простые критерии равенства, они часто полезны.