Геодезические -- прямые

[Slav-27]

Рассмотрим римановы метрики на плоскости, у которых геодезические -- в точности обычные прямые (параметризация не учитывается). Докажите, что такая метрика однозначно с точностью до гладкой изометрии определяется площадью плоскости в этой метрике.

[пианист]

Можно уточнить, что такое "площадь плоскости в метрике"?

[Slav-27]

Когда на поверхности задана риманова метрика, можно измерить площадь этой поверхности, это положительное вещественное число или бесконечность (зависящее от выбора метрики). В частности, утверждается, что если площадь бесконечна, то плоскость с этой метрикой гладко изометрична плоскости со стандартной евклидовой метрикой.

[svv]

Первым делом, наверное, надо показать, что гауссова кривизна, соответствующая этой римановой метрике, постоянна. Я могу сослаться на теорему, принадлежащую Бельтрами. В книге Kreyszig, Differential Geometry это теорема 95.1 на стр. 291:

Цитата:

If a portion $S$ of a surface can he mapped geodesically onto a portion $S^*$ of a surface of constant Gaussian curvature $K^*$, the Gaussian curvature $K$ of $S$ must also be constant.

«mapped geodesically» — означает, что отображение переводит геодезические в геодезические (без учёта параметризации).

(Оффтоп)

Доказательство этой теоремы (вместе с предыдущей вспомогательной 94.1) в книге занимает примерно три страницы. Правда, в нашем случае $S^*$ (плоскость с обычной евклидовой метрикой) имеет нулевую кривизну, а в декартовых координатах и нулевые кристоффели, что позволяет сократить доказательство раза в два, но всё же не кардинально.

[Slav-27]

svv
Да! я тоже делал через постоянство кривизны и ссылался на теорему Бельтрами. Есть ещё одно локальное доказательство постоянства кривизны, несколько более геометрическое, но тоже не сильно короткое (я когда-то напишу подробнее, наверно).

Вообще я надеялся, что кто-нибудь придумает более короткое решение: мы много знаем о глобальном поведении геодезических, может, это можно как-то использовать с самого начала?

Когда постоянство кривизны известно, до решения уже недалеко.

[drzewo]

Slav-27 в сообщении #1553373 писал(а):

Рассмотрим римановы метрики на плоскости, у которых геодезические -- в точности обычные прямые (

т.е. берем аффинную систему координат, пишем в ней уравнение геодезических, из условия, что все прямые -- геодезические, убеждаемся, что все символы Кристоффеля равны нулю, а компоненты метрического тензора -- константы, считаем площадь плоскости, получаем $\infty$ Я что-то пропустил?

[Slav-27]

drzewo
В условиях задачи бывает и конечная площадь.

[drzewo]

Да, в условиях задач всякое можно встретить

[Slav-27]

drzewo
Существует метрика, удовлетворяющая условию задачи и такая, что площадь плоскости относительно неё конечна.

[drzewo]

значит мы по-разному понимаем условие задачи

[Slav-27]

drzewo
Может быть, вы не так понимаете условие "параметризация не учитывается". Оно означает, что образ любой максимальной геодезической $\gamma:I\to \mathbb R^2$ является прямой линией (здесь $I\subset \mathbb R$ -- конечный или бесконечный интервал); но оно не означает, что $\gamma$ является ограничением аффинного отображения $\mathbb R\to\mathbb R^2$.

[drzewo]

Вот уравнение геодезических
Кривая с параметрическим уравнением $x=x(t)$ является геодезической iff

$$\dot x^k(\ddot x^n+\Gamma_{rj}^n\dot x^r\dot x^j)= \dot x^n(\ddot x^k+\Gamma_{rj}^k\dot x^r\dot x^j)$$

(при такой форме уравнения параметризация не важна!)
теперь я подставляю в это уравнение в качестве вектора скоростей $(\dot x^1,\ldots,\dot x^m)$ любые наборы нулей и единиц, и $\ddot x=0$

[Slav-27]

Подставлять $\ddot x=0$ совершенно незачем. Образ кривой $x(t)=(0,t^2)$, $1<t<2$ является интервалом геодезической на плоскости со стандартной метрикой, но для этой кривой не выполняется $\ddot x=0$.

[drzewo]

Slav-27 в сообщении #1644615 писал(а):

Подставлять $\ddot x=0$ совершенно незачем. Образ кривой $x(t)=(0,t^2)$, $1<t<2$ является интервалом геодезической на плоскости со стандартной метрикой, но для этой кривой не выполняется $\ddot x=0$.

ну а я параметризую так чтоб выполнялось

[Slav-27]

Ладно.

drzewo в сообщении #1644539 писал(а):

убеждаемся, что все символы Кристоффеля равны нулю

Как вы получаете $\Gamma^1_{11}=0$?