Геодезические -- прямые

[Slav-27]

Рассмотрим римановы метрики на плоскости, у которых геодезические -- в точности обычные прямые (параметризация не учитывается). Докажите, что такая метрика однозначно с точностью до гладкой изометрии определяется площадью плоскости в этой метрике.

[пианист]

Можно уточнить, что такое "площадь плоскости в метрике"?

[Slav-27]

Когда на поверхности задана риманова метрика, можно измерить площадь этой поверхности, это положительное вещественное число или бесконечность (зависящее от выбора метрики). В частности, утверждается, что если площадь бесконечна, то плоскость с этой метрикой гладко изометрична плоскости со стандартной евклидовой метрикой.

[svv]

Первым делом, наверное, надо показать, что гауссова кривизна, соответствующая этой римановой метрике, постоянна. Я могу сослаться на теорему, принадлежащую Бельтрами. В книге Kreyszig, Differential Geometry это теорема 95.1 на стр. 291:

Цитата:

If a portion $S$ of a surface can he mapped geodesically onto a portion $S^*$ of a surface of constant Gaussian curvature $K^*$, the Gaussian curvature $K$ of $S$ must also be constant.

«mapped geodesically» — означает, что отображение переводит геодезические в геодезические (без учёта параметризации).

(Оффтоп)

Доказательство этой теоремы (вместе с предыдущей вспомогательной 94.1) в книге занимает примерно три страницы. Правда, в нашем случае $S^*$ (плоскость с обычной евклидовой метрикой) имеет нулевую кривизну, а в декартовых координатах и нулевые кристоффели, что позволяет сократить доказательство раза в два, но всё же не кардинально.

[Slav-27]

svv
Да! я тоже делал через постоянство кривизны и ссылался на теорему Бельтрами. Есть ещё одно локальное доказательство постоянства кривизны, несколько более геометрическое, но тоже не сильно короткое (я когда-то напишу подробнее, наверно).

Вообще я надеялся, что кто-нибудь придумает более короткое решение: мы много знаем о глобальном поведении геодезических, может, это можно как-то использовать с самого начала?

Когда постоянство кривизны известно, до решения уже недалеко.