2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение30.06.2024, 21:24 


30/06/24
5
Дано: система$$
\begin{cases}
3x^2y=2x-y\\
2xy^2=y-x
\end{cases}
$$
имеет три очевидных решения: $(0;0), (\frac 1 3;\frac 1 2), (-\frac 1 3;-\frac 1 2)$. Однако уравнение - сумма этих двух уравнений: $3x^2y+2xy^2=x$ имеет также решение:
$$\begin{cases}
x = 0\\
y \in \mathbb{R}
\end{cases}$$
Скажите, как конъюнкция двух множеств решений может содержать элементы, не принадлежащие ни одному из этих двух множеств?

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение30.06.2024, 21:38 


10/03/16
4444
Aeroport
einy складывая два уравнения, мы получаем конъюнкцию множеств их решений. Нуок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение30.06.2024, 21:38 


17/10/16
4759
einy
Последнее решение найдено делением на ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение30.06.2024, 21:43 
Админ форума


02/02/19
2470
 i  einy
Не надо руками ставить тег math, тем более - на весь текст. Ставьте доллары вокруг формул, теги система поставит сама. Поправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение30.06.2024, 21:47 


30/06/24
5
sergey zhukov в сообщении #1644553 писал(а):
einy
Последнее решение найдено делением на ноль.

Я на ноль не делил - о последнем решении я догадался, затем я подставил это решение в однострочное уравнение-"сумму", и это уравнение обратилось в верное тождество. Значит, то, о чем я догадался - решение, я неправ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение30.06.2024, 21:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4984
einy в сообщении #1644555 писал(а):
Значит, то, о чем я догадался - решение, я неправ?

Это решение "уравнения-суммы", но не решение исходной системы уравнений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение30.06.2024, 22:01 


30/06/24
5
Mihr в сообщении #1644556 писал(а):
einy в сообщении #1644555 писал(а):
Значит, то, о чем я догадался - решение, я неправ?

Это решение "уравнения-суммы", но не решение исходной системы уравнений.


Мне кажется, я догадался: сложение уравнений дает не равносильное системе уравнение, а лишь следствие из нее, так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение30.06.2024, 22:33 


10/03/16
4444
Aeroport
einy

$x + y = 3, x - y = 1$ имеет единственное решение; сумма имеет решение $x = 2$, $y$ - любое. Мне просто реально интересно, каким образом Вы пришли к тому, что сумма уравнений даёт конъюнкцию их решений. Ну хотя бы дизъюнкцию, я б ещё понял - объединение даёт сумма индикаторных функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение30.06.2024, 22:41 


30/06/24
5
ozheredov в сообщении #1644561 писал(а):
einy

$x + y = 3, x - y = 1$ имеет единственное решение; сумма имеет решение $x = 2$, $y$ - любое. Мне просто реально интересно, каким образом Вы пришли к тому, что сумма уравнений даёт конъюнкцию их решений. Ну хотя бы дизъюнкцию, я б ещё понял - объединение даёт сумма индикаторных функций.


Да, уже очевидно, что я неправ((( сложение уравнений это неравносильный переход. Вот бы еще это писали в школьных учебниках за 7-й класс. А не только сам метод излагали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение30.06.2024, 23:17 


10/03/16
4444
Aeroport
einy в сообщении #1644562 писал(а):
Вот бы еще это писали в школьных учебниках за 7-й класс. А не только сам метод излагали.


Так я об этом же ) Никто ничего писать не будет - до всего надо доходить методом проб и ошибок. Гипотеза у Вас была вполне здравая: уравнение => множество решений, операции над уравнениями => операции над множествами решений. Но вот как что конкретно работает, надо пробовать самим на простейших примерах. Ну, как мне кажется :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение01.07.2024, 00:10 


05/09/16
12038
einy

Изображение
Красным и зеленым -- графики двух уравнений системы.
Синим - график их суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение01.07.2024, 01:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
wrest
Если через какую-то точку проходят и красная, и зелёная кривая, через ту же точку должна проходить и синяя кривая. Следовательно, по крайней мере один из графиков ошибочный.

(Оффтоп)

Древнее искусство, которое пытался применить автор темы, существует. Но мы тщательно охраняем его секреты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение01.07.2024, 02:35 


05/09/16
12038
svv
Спасибо! Ошибочный был синий.
Правильные графики:
Изображение
Красным и зеленым -- графики двух уравнений системы.
Синим - график их суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение01.07.2024, 05:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
einy в сообщении #1644562 писал(а):
Да, уже очевидно, что я неправ((( сложение уравнений это неравносильный переход. Вот бы еще это писали в школьных учебниках за 7-й класс. А не только сам метод излагали.

Видимо для седьмого класса такая терминология (неравносильный переход) будет сложновата (если говорить о среднестатистическом школьнике). Поэтому на таком уровне пишут проще - типа, надо в конце проверить, а не появились ли посторонние корни?

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение01.07.2024, 08:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4984
мат-ламер в сообщении #1644572 писал(а):
Поэтому на таком уровне пишут проще - типа, надо в конце проверить, а не появились ли посторонние корни?

Нет, конечно, так не пишут. Потому что невозможно выполнить проверку для бесконечного множества посторонних пар значений $(x;y)$. Пишут, что систему из двух уравнений можно заменить новой системой, где одно из уравнений получается сложением исходных уравнений системы, а в качестве второго можно взять любое из двух уравнений исходной системы. (Во всяком случае, когда я учился в школе, нам объясняли так).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group