Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение

[einy]

Дано: система

$$ \begin{cases} 3x^2y=2x-y\\ 2xy^2=y-x \end{cases} $$

имеет три очевидных решения: $(0;0), (\frac 1 3;\frac 1 2), (-\frac 1 3;-\frac 1 2)$. Однако уравнение - сумма этих двух уравнений: $3x^2y+2xy^2=x$ имеет также решение:

$$\begin{cases} x = 0\\ y \in \mathbb{R} \end{cases}$$

Скажите, как конъюнкция двух множеств решений может содержать элементы, не принадлежащие ни одному из этих двух множеств?

[ozheredov]

einy складывая два уравнения, мы получаем конъюнкцию множеств их решений. Нуок.

[sergey zhukov]

einy
Последнее решение найдено делением на ноль.

[Ende]

einy
Не надо руками ставить тег math, тем более - на весь текст. Ставьте доллары вокруг формул, теги система поставит сама. Поправил.

[einy]

sergey zhukov в сообщении #1644553 писал(а):

einy
Последнее решение найдено делением на ноль.

Я на ноль не делил - о последнем решении я догадался, затем я подставил это решение в однострочное уравнение-"сумму", и это уравнение обратилось в верное тождество. Значит, то, о чем я догадался - решение, я неправ?

[Mihr]

einy в сообщении #1644555 писал(а):

Значит, то, о чем я догадался - решение, я неправ?

Это решение "уравнения-суммы", но не решение исходной системы уравнений.

[einy]

Mihr в сообщении #1644556 писал(а):

einy в сообщении #1644555 писал(а):

Значит, то, о чем я догадался - решение, я неправ?

Это решение "уравнения-суммы", но не решение исходной системы уравнений.

Мне кажется, я догадался: сложение уравнений дает не равносильное системе уравнение, а лишь следствие из нее, так?

[ozheredov]

einy

$x + y = 3, x - y = 1$ имеет единственное решение; сумма имеет решение $x = 2$, $y$ - любое. Мне просто реально интересно, каким образом Вы пришли к тому, что сумма уравнений даёт конъюнкцию их решений. Ну хотя бы дизъюнкцию, я б ещё понял - объединение даёт сумма индикаторных функций.

[einy]

ozheredov в сообщении #1644561 писал(а):

einy

$x + y = 3, x - y = 1$ имеет единственное решение; сумма имеет решение $x = 2$, $y$ - любое. Мне просто реально интересно, каким образом Вы пришли к тому, что сумма уравнений даёт конъюнкцию их решений. Ну хотя бы дизъюнкцию, я б ещё понял - объединение даёт сумма индикаторных функций.

Да, уже очевидно, что я неправ((( сложение уравнений это неравносильный переход. Вот бы еще это писали в школьных учебниках за 7-й класс. А не только сам метод излагали.

[ozheredov]

einy в сообщении #1644562 писал(а):

Вот бы еще это писали в школьных учебниках за 7-й класс. А не только сам метод излагали.

Так я об этом же ) Никто ничего писать не будет - до всего надо доходить методом проб и ошибок. Гипотеза у Вас была вполне здравая: уравнение => множество решений, операции над уравнениями => операции над множествами решений. Но вот как что конкретно работает, надо пробовать самим на простейших примерах. Ну, как мне кажется

[wrest]

einy


Красным и зеленым -- графики двух уравнений системы.
Синим - график их суммы.

[svv]

wrest
Если через какую-то точку проходят и красная, и зелёная кривая, через ту же точку должна проходить и синяя кривая. Следовательно, по крайней мере один из графиков ошибочный.

(Оффтоп)

Древнее искусство, которое пытался применить автор темы, существует. Но мы тщательно охраняем его секреты.

[wrest]

svv
Спасибо! Ошибочный был синий.
Правильные графики:

Красным и зеленым -- графики двух уравнений системы.
Синим - график их суммы.

[мат-ламер]

einy в сообщении #1644562 писал(а):

Да, уже очевидно, что я неправ((( сложение уравнений это неравносильный переход. Вот бы еще это писали в школьных учебниках за 7-й класс. А не только сам метод излагали.

Видимо для седьмого класса такая терминология (неравносильный переход) будет сложновата (если говорить о среднестатистическом школьнике). Поэтому на таком уровне пишут проще - типа, надо в конце проверить, а не появились ли посторонние корни?

[Mihr]

мат-ламер в сообщении #1644572 писал(а):

Поэтому на таком уровне пишут проще - типа, надо в конце проверить, а не появились ли посторонние корни?

Нет, конечно, так не пишут. Потому что невозможно выполнить проверку для бесконечного множества посторонних пар значений $(x;y)$. Пишут, что систему из двух уравнений можно заменить новой системой, где одно из уравнений получается сложением исходных уравнений системы, а в качестве второго можно взять любое из двух уравнений исходной системы. (Во всяком случае, когда я учился в школе, нам объясняли так).