Лемма. Пусть -- несчётное множество. Тогда существует не более чем счётное подмножество такое, что для любой точки и для любого множество несчётно.Короче говоря, для почти всех (исключая счетное множество) точек множества
в любой их правой полуокрестности лежит несчётное множество точек из
.
Доказательство этой леммы, использующее некоторые понятия общей топологии под оффтопом.
(Оффтоп)
Прямая Зоргенфрея -- это топологическое пространство
, подлежащим множеством которого является
, а базой топологии являются всевозможные полуинтервалы вида
, где
,
. Прямая Зоргенфрея является
наследственно линделёфовым пространством. Это значит, что для любого множества
и любого покрытия множества
открытыми множествами из этого покрытия можно выбрать счётное подпокрытие (док-во см. на
https://math.stackexchange.com/questions/322268/the-sorgenfrey-line-is-hereditarily-lindel%C3%B6f). Далее несложно показать, что если пространство
наследственно линделёфово, то для любого несчётного множества
все точки множества
, за исключением не более, чем счётного количества, являются его
точками конденсации (в любой их окрестности лежит несчётное множество точек из
).
Теперь пусть у нас
-- несчетное множество "правых асимптот", т.е. для любой точки
выполнено
, что также предполагает, что функция определена в некотором интервале
для некоторого
. Заметим, что множество тех
, в которых функция
не определена, не более, чем счётно, так как для таких
интервалы
не могут пересекаться, а на прямой непересекающихся интервалов не более, чем счётно. Поэтому сразу выкинем эти точки и будем считать, что
определена в каждой точке множества
.
Далее,
, где
. Так как
несчётно, то одно из множеств
тоже несчётно. Это множество
примем за множество
из леммы. Тогда найдётся точка
такая, что в любой правой полуокрестности точки
лежит бесконечное количество точек из
. А это противоречит условию
по определению множества
.