Лемма. Пусть
-- несчётное множество. Тогда существует не более чем счётное подмножество
такое, что для любой точки
и для любого
множество
несчётно.Короче говоря, для почти всех (исключая счетное множество) точек множества

в любой их правой полуокрестности лежит несчётное множество точек из

.
Доказательство этой леммы, использующее некоторые понятия общей топологии под оффтопом.
(Оффтоп)
Прямая Зоргенфрея -- это топологическое пространство

, подлежащим множеством которого является

, а базой топологии являются всевозможные полуинтервалы вида

, где

,

. Прямая Зоргенфрея является
наследственно линделёфовым пространством. Это значит, что для любого множества

и любого покрытия множества

открытыми множествами из этого покрытия можно выбрать счётное подпокрытие (док-во см. на
https://math.stackexchange.com/questions/322268/the-sorgenfrey-line-is-hereditarily-lindel%C3%B6f). Далее несложно показать, что если пространство

наследственно линделёфово, то для любого несчётного множества

все точки множества

, за исключением не более, чем счётного количества, являются его
точками конденсации (в любой их окрестности лежит несчётное множество точек из

).
Теперь пусть у нас

-- несчетное множество "правых асимптот", т.е. для любой точки

выполнено

, что также предполагает, что функция определена в некотором интервале

для некоторого

. Заметим, что множество тех

, в которых функция

не определена, не более, чем счётно, так как для таких

интервалы

не могут пересекаться, а на прямой непересекающихся интервалов не более, чем счётно. Поэтому сразу выкинем эти точки и будем считать, что

определена в каждой точке множества

.
Далее,

, где

. Так как

несчётно, то одно из множеств

тоже несчётно. Это множество

примем за множество

из леммы. Тогда найдётся точка

такая, что в любой правой полуокрестности точки

лежит бесконечное количество точек из

. А это противоречит условию

по определению множества

.