2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Количество вертикальных асимптот
Сообщение25.06.2024, 06:57 


09/11/12
233
Донецк
Может ли количество вертикальных асимптот функции быть более, чем счётным? Буду благодарен за Ваше мнение

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество вертикальных асимптот
Сообщение25.06.2024, 09:18 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
Может, например $f(x)=1/\rho(x, K) $, где $\rho(x, K) $ -- расстояние от точки $x$ до канторова множества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество вертикальных асимптот
Сообщение25.06.2024, 09:28 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
А мне вот думается, что нет. Смотря что понимать под вертикальной асимптотой. Хорошо бы, чтобы ТС дал четкое, однозначное определение, что он под этим понимает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество вертикальных асимптот
Сообщение25.06.2024, 10:09 


29/01/24
81
Evgenii2012 в сообщении #1643975 писал(а):
Может ли количество вертикальных асимптот функции быть более, чем счётным? Буду благодарен за Ваше мнение


Если считать вертикальной асимптотой точку $x=a$, для которой выполнено $\displaystyle\lim_{x\to a}f = +\infty,-\infty,or\  \infty$, то, очевидно, таких не может быть более чем счетного числа (каждой такой можно сопоставить интервал, причем два разных пересекаться не будут).
Если же считать вертикальной асимптотой точку $x=a$, в любой окрестности которой функция неограничена, то подойдет, например, функция $f$ определенная на рациональных как $f(p/q)=q$, где $p/q$ - несократимая, и равная нулю на иррациональных. Тогда асимптотой будет любая точка прямой. Подойдет также пример Padawan или наугад взятая функция.

-- 25.06.2024, 09:10 --

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество вертикальных асимптот
Сообщение25.06.2024, 11:33 


09/11/12
233
Донецк
Спасибо за Ваше мнение. Судя по ответам, ответ "нет", так как я имел в виду именно существование бесконечного предела в точке

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество вертикальных асимптот
Сообщение25.06.2024, 11:38 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
Deathrose
А разве в моем примерно предел не равен $+\infty$ в каждой точке канторова множества? По области определения функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество вертикальных асимптот
Сообщение25.06.2024, 11:46 


09/11/12
233
Донецк
Deathrose, нужно чтобы функция $f$ была определена в некоторой проколотой окрестности точки. Под функцией я имею в виду конечнозначную. Насколько я понимаю, это не так в данной ситуации. Я не предполагал в своём вопросе функцию, допускающую бесконечные значения

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество вертикальных асимптот
Сообщение25.06.2024, 11:51 


29/01/24
81
Evgenii2012 в сообщении #1644018 писал(а):
Deathrose, нужно чтобы функция $f$ была определена в некоторой проколотой окрестности точки. Под функцией я имею в виду конечнозначную. Насколько я понимаю, это не так в данной ситуации. Я не предполагал в своём вопросе функцию, допускающую бесконечные значения

Где у моей функции "бесконечные значения"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество вертикальных асимптот
Сообщение25.06.2024, 11:51 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
Deathrose в сообщении #1643986 писал(а):
каждой такой можно сопоставить интервал, причем два разных пересекаться не будут

Это не верно. Существует функция, всюду определённая на $\mathbb R$, предел которой равен $+\infty$ в точка множества $\{0\}\cup \{1/n\mid n=1,2,\ldots\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество вертикальных асимптот
Сообщение25.06.2024, 11:52 


29/01/24
81
Padawan в сообщении #1644021 писал(а):
Deathrose в сообщении #1643986 писал(а):
каждой такой можно сопоставить интервал, причем два разных пересекаться не будут

Это не верно. Существует функция, всюду определённая на $\mathbb R$, предел которой равен $+\infty$ в точка множества $\{0\}\cup \{1/n\mid n=1,2,\ldots\}$.

Да, я уже понял, забыл весь анализ похоже. Это и для конечных пределов неверно.

-- 25.06.2024, 10:53 --

А Ваш пример конечно же подходит, канторово множество (как и любое замкнутое, в том числе и $\{0,1/2,1/3,...\}$) может быть множеством нулей непрерывной функции. И тогда можно взять 1/f, как Вы и делаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество вертикальных асимптот
Сообщение25.06.2024, 11:57 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
Evgenii2012
Сформулируйте все-таки четко, чего Вы от функции хотите. С уточнением, где она должна быть определена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество вертикальных асимптот
Сообщение25.06.2024, 12:28 


09/11/12
233
Донецк
Большое спасибо за Ваше мнение и за обсуждение. Уточняю: прямая $x=x_0$ является асимптотой функции $f,$ если выполнено одно из двух: $\lim\limits_{x\rightarrow x_0-0}=\pm \infty,$ либо $\lim\limits_{x\rightarrow x_0+0}=\pm \infty.$ При этом, само определение предела функции предполагает, что функция $f$ должна быть определена и конечна в некоторой проколотой окрестности точки $x_0.$ Учитывая сказанное выше, у меня пока нет полной ясности в ответе на вопрос, может ли множество таких точек $x_0$ быть более, чем счётным

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество вертикальных асимптот
Сообщение25.06.2024, 13:50 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Возьмём функцию $f$. Можно её доопределить на всю прямую и заменить её на $\lfloor |f| \rfloor$, так что $f \colon \mathbb R \to \mathbb N_0$, такая процедура может только увеличить набор вертикальных асимптот. Введём множества $X_{k, l} = \{a \mid f(a) = k,\enskip \lim_{x \to a + 0} f(x) = \infty,\enskip \forall{a < t < a + 1/l}\enskip f(t) > k\}$ при $k, l \in \mathbb N_0$ (условие $a < t < a + 1/0$ надо понимать как $a < t$). Объединение $\bigcup_{k, l} X_{k, l}$ — это просто множество всех правых асимптот, также $X_{k, l} \cap X_{k', l'} = \varnothing$ при $k \neq k'$ и $X_{k, l} \subseteq X_{k, l + 1}$. Легко видеть, что каждое $X_{k, l}$ не более чем счётно (его точки находятся на расстояниях хотя бы $1 / l$ друг от друга). Поэтому и вертикальных асимптот не более чем счётное множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество вертикальных асимптот
Сообщение28.06.2024, 08:56 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
Лемма. Пусть $E\subset\mathbb R$ -- несчётное множество. Тогда существует не более чем счётное подмножество $E_0\subset E$ такое, что для любой точки $a\in E\setminus E_0$ и для любого $\varepsilon>0$ множество $(a,a+\varepsilon)\cap E$ несчётно.
Короче говоря, для почти всех (исключая счетное множество) точек множества $E$ в любой их правой полуокрестности лежит несчётное множество точек из $E$.
Доказательство этой леммы, использующее некоторые понятия общей топологии под оффтопом.

(Оффтоп)

Прямая Зоргенфрея -- это топологическое пространство $(X,\tau)$, подлежащим множеством которого является $\mathbb R$, а базой топологии являются всевозможные полуинтервалы вида $[x,x+\varepsilon)$, где $x\in\mathbb R$, $\varepsilon>0$. Прямая Зоргенфрея является наследственно линделёфовым пространством. Это значит, что для любого множества $Y\subset X$ и любого покрытия множества $Y$ открытыми множествами из этого покрытия можно выбрать счётное подпокрытие (док-во см. на https://math.stackexchange.com/questions/322268/the-sorgenfrey-line-is-hereditarily-lindel%C3%B6f). Далее несложно показать, что если пространство $(X,\tau)$ наследственно линделёфово, то для любого несчётного множества $E\subset X$ все точки множества $E$, за исключением не более, чем счётного количества, являются его точками конденсации (в любой их окрестности лежит несчётное множество точек из $E$).

Теперь пусть у нас $A$ -- несчетное множество "правых асимптот", т.е. для любой точки $a\in A$ выполнено $\lim\limits_{x\to a+0} f(x)=\infty$, что также предполагает, что функция определена в некотором интервале $(a,a+\varepsilon_a)$ для некоторого $\varepsilon_a>0$. Заметим, что множество тех $a\in A$, в которых функция $f(x)$ не определена, не более, чем счётно, так как для таких $a$ интервалы $(a,a+\varepsilon_a)$ не могут пересекаться, а на прямой непересекающихся интервалов не более, чем счётно. Поэтому сразу выкинем эти точки и будем считать, что $f(x)$ определена в каждой точке множества $A$.

Далее, $A=\bigcup_{N=1}^\infty A_N$, где $A_N=\{x\in E\mid |f(x)|\leqslant N\}$. Так как $A$ несчётно, то одно из множеств $A_N$ тоже несчётно. Это множество $A_N$ примем за множество $E$ из леммы. Тогда найдётся точка $a\in A_N$ такая, что в любой правой полуокрестности точки $a$ лежит бесконечное количество точек из $A_N$. А это противоречит условию $\lim\limits_{x\to a+0} f(x)=\infty$ по определению множества $A_N$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group