Количество вертикальных асимптот

[Evgenii2012]

Может ли количество вертикальных асимптот функции быть более, чем счётным? Буду благодарен за Ваше мнение

[Padawan]

Может, например $f(x)=1/\rho(x, K) $, где $\rho(x, K) $ -- расстояние от точки $x$ до канторова множества.

[vpb]

А мне вот думается, что нет. Смотря что понимать под вертикальной асимптотой. Хорошо бы, чтобы ТС дал четкое, однозначное определение, что он под этим понимает.

[Deathrose]

Evgenii2012 в сообщении #1643975 писал(а):

Может ли количество вертикальных асимптот функции быть более, чем счётным? Буду благодарен за Ваше мнение

Если считать вертикальной асимптотой точку $x=a$, для которой выполнено $\displaystyle\lim_{x\to a}f = +\infty,-\infty,or\ \infty$, то, очевидно, таких не может быть более чем счетного числа (каждой такой можно сопоставить интервал, причем два разных пересекаться не будут).
Если же считать вертикальной асимптотой точку $x=a$, в любой окрестности которой функция неограничена, то подойдет, например, функция $f$ определенная на рациональных как $f(p/q)=q$, где $p/q$ - несократимая, и равная нулю на иррациональных. Тогда асимптотой будет любая точка прямой. Подойдет также пример Padawan или наугад взятая функция.

-- 25.06.2024, 09:10 --

[Evgenii2012]

Спасибо за Ваше мнение. Судя по ответам, ответ "нет", так как я имел в виду именно существование бесконечного предела в точке

[Padawan]

Deathrose
А разве в моем примерно предел не равен $+\infty$ в каждой точке канторова множества? По области определения функции.

[Evgenii2012]

Deathrose, нужно чтобы функция $f$ была определена в некоторой проколотой окрестности точки. Под функцией я имею в виду конечнозначную. Насколько я понимаю, это не так в данной ситуации. Я не предполагал в своём вопросе функцию, допускающую бесконечные значения

[Deathrose]

Evgenii2012 в сообщении #1644018 писал(а):

Deathrose, нужно чтобы функция $f$ была определена в некоторой проколотой окрестности точки. Под функцией я имею в виду конечнозначную. Насколько я понимаю, это не так в данной ситуации. Я не предполагал в своём вопросе функцию, допускающую бесконечные значения

Где у моей функции "бесконечные значения"?

[Padawan]

Deathrose в сообщении #1643986 писал(а):

каждой такой можно сопоставить интервал, причем два разных пересекаться не будут

Это не верно. Существует функция, всюду определённая на $\mathbb R$, предел которой равен $+\infty$ в точка множества $\{0\}\cup \{1/n\mid n=1,2,\ldots\}$.

[Deathrose]

Padawan в сообщении #1644021 писал(а):

Deathrose в сообщении #1643986 писал(а):

каждой такой можно сопоставить интервал, причем два разных пересекаться не будут

Это не верно. Существует функция, всюду определённая на $\mathbb R$, предел которой равен $+\infty$ в точка множества $\{0\}\cup \{1/n\mid n=1,2,\ldots\}$.

Да, я уже понял, забыл весь анализ похоже. Это и для конечных пределов неверно.

-- 25.06.2024, 10:53 --

А Ваш пример конечно же подходит, канторово множество (как и любое замкнутое, в том числе и $\{0,1/2,1/3,...\}$) может быть множеством нулей непрерывной функции. И тогда можно взять 1/f, как Вы и делаете.

[Padawan]

Evgenii2012
Сформулируйте все-таки четко, чего Вы от функции хотите. С уточнением, где она должна быть определена.

[Evgenii2012]

Большое спасибо за Ваше мнение и за обсуждение. Уточняю: прямая $x=x_0$ является асимптотой функции $f,$ если выполнено одно из двух: $\lim\limits_{x\rightarrow x_0-0}=\pm \infty,$ либо $\lim\limits_{x\rightarrow x_0+0}=\pm \infty.$ При этом, само определение предела функции предполагает, что функция $f$ должна быть определена и конечна в некоторой проколотой окрестности точки $x_0.$ Учитывая сказанное выше, у меня пока нет полной ясности в ответе на вопрос, может ли множество таких точек $x_0$ быть более, чем счётным

[dgwuqtj]

Возьмём функцию $f$. Можно её доопределить на всю прямую и заменить её на $\lfloor |f| \rfloor$, так что $f \colon \mathbb R \to \mathbb N_0$, такая процедура может только увеличить набор вертикальных асимптот. Введём множества $X_{k, l} = \{a \mid f(a) = k,\enskip \lim_{x \to a + 0} f(x) = \infty,\enskip \forall{a < t < a + 1/l}\enskip f(t) > k\}$ при $k, l \in \mathbb N_0$ (условие $a < t < a + 1/0$ надо понимать как $a < t$). Объединение $\bigcup_{k, l} X_{k, l}$ — это просто множество всех правых асимптот, также $X_{k, l} \cap X_{k', l'} = \varnothing$ при $k \neq k'$ и $X_{k, l} \subseteq X_{k, l + 1}$. Легко видеть, что каждое $X_{k, l}$ не более чем счётно (его точки находятся на расстояниях хотя бы $1 / l$ друг от друга). Поэтому и вертикальных асимптот не более чем счётное множество.

[Padawan]

Лемма. Пусть $E\subset\mathbb R$ -- несчётное множество. Тогда существует не более чем счётное подмножество $E_0\subset E$ такое, что для любой точки $a\in E\setminus E_0$ и для любого $\varepsilon>0$ множество $(a,a+\varepsilon)\cap E$ несчётно.
Короче говоря, для почти всех (исключая счетное множество) точек множества $E$ в любой их правой полуокрестности лежит несчётное множество точек из $E$.
Доказательство этой леммы, использующее некоторые понятия общей топологии под оффтопом.

(Оффтоп)

Прямая Зоргенфрея -- это топологическое пространство $(X,\tau)$, подлежащим множеством которого является $\mathbb R$, а базой топологии являются всевозможные полуинтервалы вида $[x,x+\varepsilon)$, где $x\in\mathbb R$, $\varepsilon>0$. Прямая Зоргенфрея является наследственно линделёфовым пространством. Это значит, что для любого множества $Y\subset X$ и любого покрытия множества $Y$ открытыми множествами из этого покрытия можно выбрать счётное подпокрытие (док-во см. на https://math.stackexchange.com/questions/322268/the-sorgenfrey-line-is-hereditarily-lindel%C3%B6f). Далее несложно показать, что если пространство $(X,\tau)$ наследственно линделёфово, то для любого несчётного множества $E\subset X$ все точки множества $E$, за исключением не более, чем счётного количества, являются его точками конденсации (в любой их окрестности лежит несчётное множество точек из $E$).

Теперь пусть у нас $A$ -- несчетное множество "правых асимптот", т.е. для любой точки $a\in A$ выполнено $\lim\limits_{x\to a+0} f(x)=\infty$, что также предполагает, что функция определена в некотором интервале $(a,a+\varepsilon_a)$ для некоторого $\varepsilon_a>0$. Заметим, что множество тех $a\in A$, в которых функция $f(x)$ не определена, не более, чем счётно, так как для таких $a$ интервалы $(a,a+\varepsilon_a)$ не могут пересекаться, а на прямой непересекающихся интервалов не более, чем счётно. Поэтому сразу выкинем эти точки и будем считать, что $f(x)$ определена в каждой точке множества $A$.

Далее, $A=\bigcup_{N=1}^\infty A_N$, где $A_N=\{x\in E\mid |f(x)|\leqslant N\}$. Так как $A$ несчётно, то одно из множеств $A_N$ тоже несчётно. Это множество $A_N$ примем за множество $E$ из леммы. Тогда найдётся точка $a\in A_N$ такая, что в любой правой полуокрестности точки $a$ лежит бесконечное количество точек из $A_N$. А это противоречит условию $\lim\limits_{x\to a+0} f(x)=\infty$ по определению множества $A_N$.