Представление сумм всевозможных композиций в общем виде

[_hum_]

Имеется векторное пространство $V$, некоторый набор векторов $c^{(0)}_k \in V$, $k = 1,2,\dots$, и две разновидности отображений (в общем случае полилинейных)

1) $c^{(1)}_k: V \rightarrow V$, $k = 1,2,\dots$,
2) $c^{(2)}_k: V\times V \rightarrow V$, $k = 1,2,\dots$.

Нужно для всякого натурального $m$ уметь записывать сумму векторов, полученных в результате применения к векторам $c^{(0)}_k$ всех возможных комбинаций композиций этих типов отображений, так, чтобы сумма индексов $k$, участвующих в композиции отображений (с учетом индекса вектора $c^{(0)}_k$), равнялась бы $m$. То есть, например, для $m=3$ нужно получить что-то типа

$$c^{(0)}_3 + c^{(1)}_1(c^{(0)}_2) + c^{(1)}_1(c^{(1)}_1(c^{(0)}_1)) + c^{(1)}_2(c^{(0)}_1) + c^{(2)}_1(c^{(0)}_1, c^{(0)}_1).$$

Как-нибудь такие суммы в общем виде можно представить, с помощью каких-нибудь мультииндексов?

Пока у меня лишь идея ввести общую форму представления композиции через запись вида $c^{(i_1)}_{k_1} c^{(i_2)}_{k_2} \dots c^{(i_n)}_{k_n}$, которую трактовать как топологически упорядоченное синтаксическое дерево разбора исходной записи. То есть, например, $c^{(1)}_{k_1} c^{(2)}_{k_2} c^{(0)}_{k_3} c^{(1)}_{k_4} c^{(0)}_{k_5}$ трактовать как $c^{(1)}_{k_1}( c^{(2)}_{k_2}( c^{(0)}_{k_3}, c^{(1)}_{k_4}(c^{(0)}_{k_5})))$ и потом обычным образом по мульииндексу суммировать. Но насколько такой подход уместен в математической работе по функциональному анализу (то есть, не связанной с алгоритмикой)? Может, есть какой-то другой способ?

Заранее благодарен.

[dgwuqtj]

Почему бы просто не задать вашу сумму $S_k$ рекуррентно, $S_k = c_k^{(0)} + \sum_{i = 1}^{k - 1} c_{k - i}^{(1)}(S_i) + \sum_{\substack{i, j \geq 1 \\ i + j < k}} c_{k - i - j}^{(2)}(S_i, S_j)$?

[_hum_]

dgwuqtj
Хотелось бы все-таки использовать явный вид, потому как он делает более прозрачным дальнейшие нужные мне для работы манипуляции. Ту же оценку нормы вектора через нормы отображений в реккурентой форме нужно проводить по индукции, тогда как в явной - напрямую.