2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Представление сумм всевозможных композиций в общем виде
Сообщение27.06.2024, 18:33 


23/12/07
1763
Имеется векторное пространство $V$, некоторый набор векторов $c^{(0)}_k \in V$, $k = 1,2,\dots$, и две разновидности отображений (в общем случае полилинейных)

1) $c^{(1)}_k: V \rightarrow V$, $k = 1,2,\dots$,
2) $c^{(2)}_k: V\times V \rightarrow V$, $k = 1,2,\dots$.

Нужно для всякого натурального $m$ уметь записывать сумму векторов, полученных в результате применения к векторам $c^{(0)}_k$ всех возможных комбинаций композиций этих типов отображений, так, чтобы сумма индексов $k$, участвующих в композиции отображений (с учетом индекса вектора $c^{(0)}_k$), равнялась бы $m$. То есть, например, для $m=3$ нужно получить что-то типа $$c^{(0)}_3 +  c^{(1)}_1(c^{(0)}_2) + c^{(1)}_1(c^{(1)}_1(c^{(0)}_1)) + c^{(1)}_2(c^{(0)}_1) + c^{(2)}_1(c^{(0)}_1, c^{(0)}_1).$$
Как-нибудь такие суммы в общем виде можно представить, с помощью каких-нибудь мультииндексов?

Пока у меня лишь идея ввести общую форму представления композиции через запись вида $c^{(i_1)}_{k_1} c^{(i_2)}_{k_2} \dots c^{(i_n)}_{k_n}$, которую трактовать как топологически упорядоченное синтаксическое дерево разбора исходной записи. То есть, например, $c^{(1)}_{k_1} c^{(2)}_{k_2} c^{(0)}_{k_3} c^{(1)}_{k_4} c^{(0)}_{k_5}$ трактовать как $c^{(1)}_{k_1}( c^{(2)}_{k_2}( c^{(0)}_{k_3}, c^{(1)}_{k_4}(c^{(0)}_{k_5})))$ и потом обычным образом по мульииндексу суммировать. Но насколько такой подход уместен в математической работе по функциональному анализу (то есть, не связанной с алгоритмикой)? Может, есть какой-то другой способ?

Заранее благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление сумм всевозможных композиций в общем виде
Сообщение27.06.2024, 18:38 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Почему бы просто не задать вашу сумму $S_k$ рекуррентно, $S_k = c_k^{(0)} + \sum_{i = 1}^{k - 1} c_{k - i}^{(1)}(S_i) + \sum_{\substack{i, j \geq 1 \\ i + j < k}} c_{k - i - j}^{(2)}(S_i, S_j)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление сумм всевозможных композиций в общем виде
Сообщение27.06.2024, 18:53 


23/12/07
1763
dgwuqtj
Хотелось бы все-таки использовать явный вид, потому как он делает более прозрачным дальнейшие нужные мне для работы манипуляции. Ту же оценку нормы вектора через нормы отображений в реккурентой форме нужно проводить по индукции, тогда как в явной - напрямую.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group