2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Представление сумм всевозможных композиций в общем виде
Сообщение27.06.2024, 18:33 


23/12/07
1763
Имеется векторное пространство $V$, некоторый набор векторов $c^{(0)}_k \in V$, $k = 1,2,\dots$, и две разновидности отображений (в общем случае полилинейных)

1) $c^{(1)}_k: V \rightarrow V$, $k = 1,2,\dots$,
2) $c^{(2)}_k: V\times V \rightarrow V$, $k = 1,2,\dots$.

Нужно для всякого натурального $m$ уметь записывать сумму векторов, полученных в результате применения к векторам $c^{(0)}_k$ всех возможных комбинаций композиций этих типов отображений, так, чтобы сумма индексов $k$, участвующих в композиции отображений (с учетом индекса вектора $c^{(0)}_k$), равнялась бы $m$. То есть, например, для $m=3$ нужно получить что-то типа $$c^{(0)}_3 +  c^{(1)}_1(c^{(0)}_2) + c^{(1)}_1(c^{(1)}_1(c^{(0)}_1)) + c^{(1)}_2(c^{(0)}_1) + c^{(2)}_1(c^{(0)}_1, c^{(0)}_1).$$
Как-нибудь такие суммы в общем виде можно представить, с помощью каких-нибудь мультииндексов?

Пока у меня лишь идея ввести общую форму представления композиции через запись вида $c^{(i_1)}_{k_1} c^{(i_2)}_{k_2} \dots c^{(i_n)}_{k_n}$, которую трактовать как топологически упорядоченное синтаксическое дерево разбора исходной записи. То есть, например, $c^{(1)}_{k_1} c^{(2)}_{k_2} c^{(0)}_{k_3} c^{(1)}_{k_4} c^{(0)}_{k_5}$ трактовать как $c^{(1)}_{k_1}( c^{(2)}_{k_2}( c^{(0)}_{k_3}, c^{(1)}_{k_4}(c^{(0)}_{k_5})))$ и потом обычным образом по мульииндексу суммировать. Но насколько такой подход уместен в математической работе по функциональному анализу (то есть, не связанной с алгоритмикой)? Может, есть какой-то другой способ?

Заранее благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление сумм всевозможных композиций в общем виде
Сообщение27.06.2024, 18:38 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Почему бы просто не задать вашу сумму $S_k$ рекуррентно, $S_k = c_k^{(0)} + \sum_{i = 1}^{k - 1} c_{k - i}^{(1)}(S_i) + \sum_{\substack{i, j \geq 1 \\ i + j < k}} c_{k - i - j}^{(2)}(S_i, S_j)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление сумм всевозможных композиций в общем виде
Сообщение27.06.2024, 18:53 


23/12/07
1763
dgwuqtj
Хотелось бы все-таки использовать явный вид, потому как он делает более прозрачным дальнейшие нужные мне для работы манипуляции. Ту же оценку нормы вектора через нормы отображений в реккурентой форме нужно проводить по индукции, тогда как в явной - напрямую.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group