2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема об обратной матрице
Сообщение24.06.2024, 19:59 
Аватара пользователя


15/10/15
89
Как известно обратная матрица, это такая квадратная матрица, которая удовлетворяет двум условиям $AB = I$ и $BA = I$, где $A$ - искомая квадратная матрица, $B$ - матрица обратная $A$, а $I$ - единичная матрица. При этом есть ещё такая теорема: Если $A$ и $B$ квадратные матрицы и $AB = I$, тогда $A$ и $B$ обе инвертируемы. Из последней теоремы в частности следует, что если $AB = I$, то $AB = I = BA$, и мне не понятно, зачем тогда определение обратной матрицы требует, чтобы выполнялись сразу оба условия $AB = I$ и $BA = I$, если из первого следует второе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об обратной матрице
Сообщение24.06.2024, 20:45 


21/12/16
721
а каким образом, из того, что
Cynic в сообщении #1643899 писал(а):
из первого следует второе

вытекает, что в определении нельзя требовать
Cynic в сообщении #1643899 писал(а):
чтобы выполнялись сразу оба условия

?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об обратной матрице
Сообщение24.06.2024, 21:00 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
В определения пишут те требования, с которыми удобно это определение применять. Обычно хочется, чтобы обратимые матрицы сразу образовывали группу. Ну и эта ваша теорема верна не всегда, а, скажем, для коммутативных колец или для тел. Для произвольных ассоциативных колец с единицей есть контрпримеры. Более того, там бывают и прямоугольные матрицы $A, B$ (размеров $m \times n$ и $n \times m$ с $m \neq n$) такие, что $AB = I$ и $BA = I$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об обратной матрице
Сообщение25.06.2024, 15:46 
Аватара пользователя


15/10/15
89
drzewo в сообщении #1643907 писал(а):
вытекает, что в определении нельзя требовать
Cynic в сообщении #1643899 писал(а):
чтобы выполнялись сразу оба условия

?

Обычно когда пишут, что должны выполняться два условия, подразумевается что есть ситуации, когда выполняется только одно из них. А тут оказывается, что из $AB = I$ следует $BA = I$, и как бы странно требовать сразу обоих условий если они и так всегда выполняются.
Можно перефразировать мой вопрос по другому - Возможно ли для квадратных матриц, что когда $AB = I$, то $BA \ne I$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об обратной матрице
Сообщение25.06.2024, 16:01 


21/12/16
721
Cynic в сообщении #1644056 писал(а):
Можно перефразировать мой вопрос по другому - Возможно ли для квадратных матриц, что когда $AB = I$, то $BA \ne I$?

ответ, я полагаю, вам известен. А <<подразумевается>> и << странно>> это не лексикон математики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об обратной матрице
Сообщение25.06.2024, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Если матрица $A$ не квадратная ($m\times n$), то у нее может быть только левая обратная $L: LA=I$ или только правая обратная $R: AR=I$ (в соответствующих размерностях). Для квадратных матриц существование левой или правой обратной влечет что она также правая (соответственно левая) обратная, и в этом случае говорят просто об обратных матрицах.

ПС: Копание в определениях говорит о философическом складе ума и обычно приводит к тому, что дальше определения обучаемый не продвигается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об обратной матрице
Сообщение25.06.2024, 16:34 
Аватара пользователя


15/10/15
89
Цитата:
ПС: Копание в определениях говорит о философическом складе ума и обычно приводит к тому, что дальше определения обучаемый не продвигается

Такое замечание, много больше говорит о вас чем обо мне.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group