2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема об обратной матрице
Сообщение24.06.2024, 19:59 
Аватара пользователя


15/10/15
89
Как известно обратная матрица, это такая квадратная матрица, которая удовлетворяет двум условиям $AB = I$ и $BA = I$, где $A$ - искомая квадратная матрица, $B$ - матрица обратная $A$, а $I$ - единичная матрица. При этом есть ещё такая теорема: Если $A$ и $B$ квадратные матрицы и $AB = I$, тогда $A$ и $B$ обе инвертируемы. Из последней теоремы в частности следует, что если $AB = I$, то $AB = I = BA$, и мне не понятно, зачем тогда определение обратной матрицы требует, чтобы выполнялись сразу оба условия $AB = I$ и $BA = I$, если из первого следует второе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об обратной матрице
Сообщение24.06.2024, 20:45 


21/12/16
721
а каким образом, из того, что
Cynic в сообщении #1643899 писал(а):
из первого следует второе

вытекает, что в определении нельзя требовать
Cynic в сообщении #1643899 писал(а):
чтобы выполнялись сразу оба условия

?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об обратной матрице
Сообщение24.06.2024, 21:00 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
В определения пишут те требования, с которыми удобно это определение применять. Обычно хочется, чтобы обратимые матрицы сразу образовывали группу. Ну и эта ваша теорема верна не всегда, а, скажем, для коммутативных колец или для тел. Для произвольных ассоциативных колец с единицей есть контрпримеры. Более того, там бывают и прямоугольные матрицы $A, B$ (размеров $m \times n$ и $n \times m$ с $m \neq n$) такие, что $AB = I$ и $BA = I$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об обратной матрице
Сообщение25.06.2024, 15:46 
Аватара пользователя


15/10/15
89
drzewo в сообщении #1643907 писал(а):
вытекает, что в определении нельзя требовать
Cynic в сообщении #1643899 писал(а):
чтобы выполнялись сразу оба условия

?

Обычно когда пишут, что должны выполняться два условия, подразумевается что есть ситуации, когда выполняется только одно из них. А тут оказывается, что из $AB = I$ следует $BA = I$, и как бы странно требовать сразу обоих условий если они и так всегда выполняются.
Можно перефразировать мой вопрос по другому - Возможно ли для квадратных матриц, что когда $AB = I$, то $BA \ne I$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об обратной матрице
Сообщение25.06.2024, 16:01 


21/12/16
721
Cynic в сообщении #1644056 писал(а):
Можно перефразировать мой вопрос по другому - Возможно ли для квадратных матриц, что когда $AB = I$, то $BA \ne I$?

ответ, я полагаю, вам известен. А <<подразумевается>> и << странно>> это не лексикон математики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об обратной матрице
Сообщение25.06.2024, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Если матрица $A$ не квадратная ($m\times n$), то у нее может быть только левая обратная $L: LA=I$ или только правая обратная $R: AR=I$ (в соответствующих размерностях). Для квадратных матриц существование левой или правой обратной влечет что она также правая (соответственно левая) обратная, и в этом случае говорят просто об обратных матрицах.

ПС: Копание в определениях говорит о философическом складе ума и обычно приводит к тому, что дальше определения обучаемый не продвигается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об обратной матрице
Сообщение25.06.2024, 16:34 
Аватара пользователя


15/10/15
89
Цитата:
ПС: Копание в определениях говорит о философическом складе ума и обычно приводит к тому, что дальше определения обучаемый не продвигается

Такое замечание, много больше говорит о вас чем обо мне.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group