Теорема об обратной матрице

[Cynic]

Как известно обратная матрица, это такая квадратная матрица, которая удовлетворяет двум условиям $AB = I$ и $BA = I$, где $A$ - искомая квадратная матрица, $B$ - матрица обратная $A$, а $I$ - единичная матрица. При этом есть ещё такая теорема: Если $A$ и $B$ квадратные матрицы и $AB = I$, тогда $A$ и $B$ обе инвертируемы. Из последней теоремы в частности следует, что если $AB = I$, то $AB = I = BA$, и мне не понятно, зачем тогда определение обратной матрицы требует, чтобы выполнялись сразу оба условия $AB = I$ и $BA = I$, если из первого следует второе?

[drzewo]

а каким образом, из того, что

Cynic в сообщении #1643899 писал(а):

из первого следует второе

вытекает, что в определении нельзя требовать

Cynic в сообщении #1643899 писал(а):

чтобы выполнялись сразу оба условия

?

[dgwuqtj]

В определения пишут те требования, с которыми удобно это определение применять. Обычно хочется, чтобы обратимые матрицы сразу образовывали группу. Ну и эта ваша теорема верна не всегда, а, скажем, для коммутативных колец или для тел. Для произвольных ассоциативных колец с единицей есть контрпримеры. Более того, там бывают и прямоугольные матрицы $A, B$ (размеров $m \times n$ и $n \times m$ с $m \neq n$) такие, что $AB = I$ и $BA = I$.

[Cynic]

drzewo в сообщении #1643907 писал(а):

вытекает, что в определении нельзя требовать

Cynic в сообщении #1643899 писал(а):

чтобы выполнялись сразу оба условия

?

Обычно когда пишут, что должны выполняться два условия, подразумевается что есть ситуации, когда выполняется только одно из них. А тут оказывается, что из $AB = I$ следует $BA = I$, и как бы странно требовать сразу обоих условий если они и так всегда выполняются.
Можно перефразировать мой вопрос по другому - Возможно ли для квадратных матриц, что когда $AB = I$, то $BA \ne I$?

[drzewo]

Cynic в сообщении #1644056 писал(а):

Можно перефразировать мой вопрос по другому - Возможно ли для квадратных матриц, что когда $AB = I$, то $BA \ne I$?

ответ, я полагаю, вам известен. А <<подразумевается>> и << странно>> это не лексикон математики.

[Red_Herring]

Если матрица $A$ не квадратная ($m\times n$), то у нее может быть только левая обратная $L: LA=I$ или только правая обратная $R: AR=I$ (в соответствующих размерностях). Для квадратных матриц существование левой или правой обратной влечет что она также правая (соответственно левая) обратная, и в этом случае говорят просто об обратных матрицах.

ПС: Копание в определениях говорит о философическом складе ума и обычно приводит к тому, что дальше определения обучаемый не продвигается.

[Cynic]

Цитата:

ПС: Копание в определениях говорит о философическом складе ума и обычно приводит к тому, что дальше определения обучаемый не продвигается

Такое замечание, много больше говорит о вас чем обо мне.