Метод Лагранжа или параметр? Корректно ли задание?

[uspehBkvadrate]

Найти графически точки максимума и минимума функции $ f(x, y) = x + y $, заданной на кривой $x^2 + y^2 = 4 $

Я знаю как можно найти точки экстремума методом Лагранжа, знаю как выразив $y=\pm \sqrt{4-x^2}$ искать экстремумы функции $g(x)=x\pm \sqrt{4-x^2}$ с помощью производной. Знаю как с помощью параметра двигать линейную функцию с помощью параллельного переноса, чтобы отыскать наибольшее и наименьшее значение исходной функции (через точки касания с окружностью).
Но графическим способом я же не смогу обосновать почему точки, в которых достигаются наиб и наим значения являются точками экстремума. Может быть я что-то не так понимаю?

[Mihr]

uspehBkvadrate в сообщении #1643757 писал(а):

Но графическим способом я же не смогу обосновать почему точки, в которых достигаются наиб и наим значения являются точками экстремума.

Отчего же. Строим окружность и семейство прямых $x+y=a$. Замечаем, что увеличение параметра $a$ соответствует сдвигу прямой вправо и вверх, уменьшение - влево и вниз. Допустим, мы выбрали точку касания окружности с верхней касательной. Всякое смещение от этой точки вдоль окружности (влево или вправо) приводит к уменьшению $a$. Значит, выбранная точка - точка максимума. Недостаточно убедительно?

[Alex Krylov]

"семейство прямых" - линии уровня

[uspehBkvadrate]

Mihr в сообщении #1643759 писал(а):

Отчего же. Строим окружность и семейство прямых $x+y=a$. Замечаем, что увеличение параметра $a$ соответствует сдвигу прямой вправо и вверх, уменьшение - влево и вниз. Допустим, мы выбрали точку касания окружности с верхней касательной. Всякое смещение от этой точки вдоль окружности (влево или вправо) приводит к уменьшению $a$. Значит, выбранная точка - точка максимума. Недостаточно убедительно?

Спасибо. Это так мы найдем глобальный экстремум. А обосновать отсутствие локальных экстремумов можно тем, что при параллельных сдвигах функция ведет себя монотонно?

[Mihr]

uspehBkvadrate в сообщении #1643808 писал(а):

А обосновать отсутствие локальных экстремумов можно тем, что при параллельных сдвигах функция ведет себя монотонно?

Да, вполне.

[Евгений Машеров]

Я бы обозначил $x+y=u$, $x-y=v$
и ограничение записал бы, как $\frac {u^2} 2 + \frac {v^2} 2=4$, нарисовал бы окружность

(Оффтоп)

и прибавил в древнеиндийском стиле: "Смотри!"

[matidiot]

Хорошо помню эту задачу из ЕГЭ по математике в доященковский период где-то до 2009 года. И решалась она по-школьному - через параметр!

[Don-Don]

Евгений Машеров в сообщении #1644017 писал(а):

Я бы обозначил $x+y=u$, $x-y=v$
и ограничение записал бы, как $\frac {u^2} 2 + \frac {v^2} 2=4$, нарисовал бы окружность

(Оффтоп)

и прибавил в древнеиндийском стиле: "Смотри!"

Спасибо А преподаватель же будет ожидать комментариев -- куда именно смотреть. Или сам должен догадаться?