2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Метод Лагранжа или параметр? Корректно ли задание?
Сообщение23.06.2024, 14:15 
Найти графически точки максимума и минимума функции $ f(x, y) = x + y $, заданной на кривой $x^2 + y^2 = 4 $

Я знаю как можно найти точки экстремума методом Лагранжа, знаю как выразив $y=\pm \sqrt{4-x^2}$ искать экстремумы функции $g(x)=x\pm \sqrt{4-x^2}$ с помощью производной. Знаю как с помощью параметра двигать линейную функцию с помощью параллельного переноса, чтобы отыскать наибольшее и наименьшее значение исходной функции (через точки касания с окружностью).
Но графическим способом я же не смогу обосновать почему точки, в которых достигаются наиб и наим значения являются точками экстремума. Может быть я что-то не так понимаю?

 
 
 
 Re: Метод Лагранжа или параметр? Корректно ли задание?
Сообщение23.06.2024, 14:32 
Аватара пользователя
uspehBkvadrate в сообщении #1643757 писал(а):
Но графическим способом я же не смогу обосновать почему точки, в которых достигаются наиб и наим значения являются точками экстремума.

Отчего же. Строим окружность и семейство прямых $x+y=a$. Замечаем, что увеличение параметра $a$ соответствует сдвигу прямой вправо и вверх, уменьшение - влево и вниз. Допустим, мы выбрали точку касания окружности с верхней касательной. Всякое смещение от этой точки вдоль окружности (влево или вправо) приводит к уменьшению $a$. Значит, выбранная точка - точка максимума. Недостаточно убедительно?

 
 
 
 Re: Метод Лагранжа или параметр? Корректно ли задание?
Сообщение23.06.2024, 14:49 
"семейство прямых" - линии уровня

 
 
 
 Re: Метод Лагранжа или параметр? Корректно ли задание?
Сообщение23.06.2024, 21:53 
Mihr в сообщении #1643759 писал(а):
Отчего же. Строим окружность и семейство прямых $x+y=a$. Замечаем, что увеличение параметра $a$ соответствует сдвигу прямой вправо и вверх, уменьшение - влево и вниз. Допустим, мы выбрали точку касания окружности с верхней касательной. Всякое смещение от этой точки вдоль окружности (влево или вправо) приводит к уменьшению $a$. Значит, выбранная точка - точка максимума. Недостаточно убедительно?

Спасибо. Это так мы найдем глобальный экстремум. А обосновать отсутствие локальных экстремумов можно тем, что при параллельных сдвигах функция ведет себя монотонно?

 
 
 
 Re: Метод Лагранжа или параметр? Корректно ли задание?
Сообщение23.06.2024, 22:40 
Аватара пользователя
uspehBkvadrate в сообщении #1643808 писал(а):
А обосновать отсутствие локальных экстремумов можно тем, что при параллельных сдвигах функция ведет себя монотонно?

Да, вполне.

 
 
 
 Re: Метод Лагранжа или параметр? Корректно ли задание?
Сообщение25.06.2024, 11:45 
Аватара пользователя
Я бы обозначил $x+y=u$, $x-y=v$
и ограничение записал бы, как $\frac {u^2} 2 + \frac {v^2} 2=4$, нарисовал бы окружность

(Оффтоп)

и прибавил в древнеиндийском стиле: "Смотри!"

 
 
 
 Re: Метод Лагранжа или параметр? Корректно ли задание?
Сообщение26.06.2024, 13:35 
Хорошо помню эту задачу из ЕГЭ по математике в доященковский период где-то до 2009 года. И решалась она по-школьному - через параметр!

 
 
 
 Re: Метод Лагранжа или параметр? Корректно ли задание?
Сообщение27.06.2024, 00:26 
Евгений Машеров в сообщении #1644017 писал(а):
Я бы обозначил $x+y=u$, $x-y=v$
и ограничение записал бы, как $\frac {u^2} 2 + \frac {v^2} 2=4$, нарисовал бы окружность

(Оффтоп)

и прибавил в древнеиндийском стиле: "Смотри!"

Спасибо :mrgreen: А преподаватель же будет ожидать комментариев -- куда именно смотреть. Или сам должен догадаться? :mrgreen:

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group